Question

Partialbruchzerlegung mit komplexer Nullstelle.

Aufrufe: 945 Aktiv: 10.12.2019 um 17:29

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Hallo.

Ich soll das unbestimmte Integral aus: (3x)/(x^{2}+4x+8) dx bestimmen. Ich denke mal man muss mit Partialbruchzerlegung arbeiten.

Ich hab mir schon etwas den Kopf an der Aufgabe zerbrochen und bin jetzt so weit: (siehe Bild.)

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gefragt 07.12.2019 um 13:58

leonk
Student, Punkte: 35

Kleiner Tipp: Kennst du die Ableitung von arctan(x)? Aber ja, Partialbruchzerlegung wäre nicht schlecht ─ linearealgebruh 07.12.2019 um 16:59

war nicht die ableitung von arctan(x) = 1/(1+x^2) ? Wie hilft mir das weiter? ─ leonk 08.12.2019 um 12:09

Hier kannst du deinen Bruch durch geschicktes Umformen in zwei Brüche umformen und dann clever substituieren, ein Bruch lässt sich dann über den ln integrieren und der andere über den arctan. Ganz zu Anfang kannst du erstmal die 3 rausziehen, dann beim Zähler +2 - 2 hinzufügen, dann den Bruch in zwei Brüche, einmal mit x+2 im Zähler und einmal mit -2 im Zähler aufsplitten, dann kommt der tricky part, wo du dir eine geeignete Substitution überlegen musst. Dafür ist die "+2" über dem Bruchstrich ganz praktisch, vorallem wenn du dir überlegst, was die Ableitung von x²+4x+8 ist. Beim zweiten Bruch lässt sich das ganze mithilfe des arctans integrieren, auch hier muss man clever substituieren und umformen, schau dir einfach an wo du hinwillst und probier mal ein wenig rum, ich habe gestern auch eine Weile gebraucht, bis ich eine geeignete Substitution gefunden habe ─ linearealgebruh 08.12.2019 um 15:00

Die Tipps von linearealgebruh sind sehr gut und führen zum Ziel.
Noch ein Kommentar zur PBZ: Die bringt dir hier nichts, das ist schon partial zerlegt. Wir haben nur komplexe Nullstellen, der Ansatz dafür wäre einfach (Ax+B)/(x^2+4x+8), was wieder auf A = 3 und B = 0 führt. Das (x+2)^2+4 bringt da leider nichts, insbesondere, wenn du das rechts bei deinem Ansatz einfach ignorierst. Die Nennernullstellen links und rechts sind doch nun verschieden. ─ orthando 08.12.2019 um 15:45

Vielen dank erstmal an euch beide.
Hab jetzt wieder soweit gerechnet wie ich konnte (siehe Originalbeitrag, habe es bearbeitet), aber wenn ich kann so viel umstellen und substituieren wie ich will, ich komm einfach nicht weiter... noch irgendwelche Tipps? ─ leonk 08.12.2019 um 15:56

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1 Antwort

orthando · Accepted Answer · 2019-12-08T16:04:30Z

Erst einmal einen Tipp: Bevor du dich an eine PBZ machst, schau mal ob du die Ableitung des Nenners im Zähler findest. Dann kannst du dich nämlich mit dem Logarithmus befassen.

Mit anderen Worten: Auch hier ist sie nicht hilfreich ;).

Ich gebe dir nochmals einen Schubs a la linearealgebruh, indem ich erstmal deinen guten Start übernehme:

\(3\int \frac{v}{v^2+4} - \frac{2}{v^2+4}\;dv\)

\(3\int \frac{v}{v^2+4}\;dv - 3\int\frac{2}{v^2+4}\;dv\)

Nun nimm den ersten Summanden und erweitere ihn mit 2, dann hast du nämlich f'/f vorliegen und das integriert bringt den Logarithmus auf den Plan (Einen Trick, den zu sehen man sich angewöhnen sollte :P).Für den zweiten Summanden denke an den arctan. Bringe ihn durch Erweitern/Substitution auf die von dir gewünschte Form.

\(3\int \frac{2v}{2(v^2+4)}\;dv - 3\int\frac{2}{v^2+4}\;dv\)

\(\frac32\int \frac{2v}{v^2+4}\;dv - 3\int\frac{2}{v^2+4}\;dv\)