Implizites Eulerverfahren

Aufrufe: 1030     Aktiv: 26.06.2020 um 16:54
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Hallo,

beim impliziten Eulerverfahren \( x_{k+1} = x_k+h*f( x_{t+1},  x_{k+1})  \) muss man ja \( f( x_{t+1},  x_{k+1}) \) mit dem Newtonalgorithmus berechnen. Aber dieser berechnet doch Nullstellen? Wie funktioniert der dann dafür?

Es geht um die Lösung von steifen Anfangswertprobleme.

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Das Verfahren ist nicht ganz richtig notiert. Wenn es um die Dgl \(x' = f(t,x)\), so lautet es

\( x_{k+1} = x_k + h\,f(t_{k+1}, x_{k+1}).\)

mit der einzigen Unbekannten \(x_{k+1}\). Also eine Gleichung, eine Unbekannte. Hier muss man nicht Newton benutzen, sondern kann auch jedes andere Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen verwenden, insb. ableitungsfreie.

Man sucht dann die Nullstellen von

\( g(u ) = u - x_k - h\,f(t_{k+1}, u)\)

Einfacher ist die Fixpunktiteration für \(g(u):= x_k + h\,f(t_{k+1}, u)\)

 

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Gude,

würde ich tatsächlich auch gerne Wissen. Vielleicht hat mittlerweile jemand eine Antwort?

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