Hallo,
ich nehme mal an, das es nicht absichtlich ist das der Laufindex einmal bei \( n=0 \) und einmal bei \( n=1 \) anfängt.
Es gilt
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n $$
Wenn nun \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) und \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n \) konvergieren, gilt
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n = b + c $$
Wobei \( b \) und \( c \) die jeweiligen Grenwerte sind. Somit konvergiert \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) gegen \( b+c \).
Bei der zweiten Aussage können wir die Reihe wieder aufteilen. \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) konvergiert, also erhalten wir
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = b + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n $$
da \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n \) immer weiter läuft und größer wird, kann \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) nicht konvergieren.
Wenn beide divergieren können wir keine allgemeine Aussage machen.
Beispiel 1)
$$ b_n = c_n = n $$
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2n $$
diese Reihe divergiert offensichtlich
Beispiel 2)
$$ b_n = (-1)^n \cdot n \\ c_n = (-1)^{n+1} \cdot n $$
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot n + (-1)^{n+1} \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} ((-1)^n + (-1)^{n+1} ) \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 0 = 0 $$
Diese Reihe konvergiert offensichtlich.
Grüße Christian
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