Schnittpunkte zweier Kreise mittels Polarkoordinaten

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Hallo Zusammen,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabenstellung.

Gegeben sind die Mittelpunkte zweier Kreise (M1x, M1y, M2x, M2y) und deren Radien (r1, r2).
Die Punkte auf Kreis 1 kann ich mit folgenden Formeln beschreiben:
("a" = alpha, Drehwinkel um M1, "b" = beta, Drehwinkel um M2)
P1x = M1x + cos(a) * r1
P1y = M1y + sin(a) * r1

Analog dazu die Punkte auf Kreis 2
P2x = M2x + cos(b) * r2
P2y = M2y + sin(b) * r2

Nun möchte ich die Schnittpunkte der Kreise ausrechnen.
Gleichung 1:
P1x = P2x
M1x + cos(a) * r1 = M2x + cos(b) * r2

Gleichung 2:
P1y = P2y
M1y + sin(a) * r1 = M2y + sin(b) * r2

 

Mein Ansatz, Gleichung 1 nach a aufzulösen, und den Wert in Gleichung 2 einzusetzen kommt leider zu keinem Ergebnis, da ich an eine Stelle komme, in der ich die Gleichung
cos(b) +cos²(b) - sin(b) - sin²(b) + ... = 0
nicht mehr auflösen kann.

 

Ich kann mich wage daran erinnern, dass Rechnungen mit Sinus und Kosinus auch durch die Eulersche Formel berechnet werden kann.
Komme leider aber auch auf keine Lösung.

Vllt hat von euch jemand eine Idee.

 

Danke
Sebastian

 

 

 

 

 

gefragt vor 3 Monate, 4 Wochen
b
basti0815,
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1 Antwort
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Hallo,

der Ansatz funktioniert so leider nicht. Du nutzt hier eine Kombination von Polarkoordinaten und karteischen Koordinaten

Ich würde den Abstand der beiden Kreismittelpunkte berechnen

$$ \vert \vec{m_1} - \vec{m_2} \vert $$

Wenn dieser Abstand größer als die Summe der Radien ist, dann treffen diese sich nicht, ist der Abstand genau gleich der Summe der Radien, gibt es einen Berührpunkt. Wenn der Abstand kleiner als die Summe ist, gibt es zwei Schnittpunkte . 

Den Berührpunkt, erhalten wir durch eine direkte Verbindung der beiden Mittelpunkte, je nachdem von welchem Mittelpunkt in einem Abstand des zugehörigen Radiuses.

Bei zwei Schnittpunkten, nehmen wir die beiden Kreisgleichungen

$$ (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r_1 \quad (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = r_2 $$

Die Berechnung findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittpunkt#Schnittpunkte_einer_Geraden_mit_einem_Kreis

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
christian_strack verified
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