Hallo,

dir wird hier sicherlich keiner eine ganze Kurvendiskussion vorrechnen. 

Ich zeige dir einmal wie man die erste Ableitung bestimmt und gebe dir ein Video von Daniel zur Hand. Dieses Video ist Teil einer Playlist. Die guckst du dir am Besten einmal an.

Wenn doch noch spezifische Fragen auftauchen melde dich gerne nochmal.

$$ f(x) = (2x-5)^2 \cdot (3x+4) \cdot e^{0,5x-3} $$

Wir haben ein Produkt mit 3 Faktoren. Für ein Produkt, nutzen wir die Produktregel

$$ f(x) = u(x) \cdot v(x) \\ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $$

Die Produktregel funktioniert mit zwei Faktoren, deshalb fassen wir zwei Faktoren zusammen und wenden auf diese wieder die Produktregel an

$$ u(x) = (2x-5)^2 \cdot (3x+4) $$

Mit 

$$ u(x) = g(x) \cdot h(x) $$

erhalten wir

$$ g(x) = (2x-5)^2 \\ h(x) = 3x+4 $$

Wir leiten nun jede Funktion einzeln ab.

$$ g(x) = (2x-5)^2 $$

wir haben hier eine verkettung von Funktionen, mit

$$ g(x) = j(k(x)) $$

erhalten wir

$$ j(x) = x^2 \\ k(x) = 2x-5 $$

diese Funktionen können wir jeweils mit der Potenzregel ableiten

$$ j'(x) = 2x \\ k'(x) = 2 $$

Nun setzen wir in die Kettenregel ein

$$ g'(x) = j'(k(x)) \cdot k'(x) = 2(2x-5) \cdot 2 = 4(2x-5) $$

Wir leiten noch \( h(x) \) mit der Potenzregel ab

$$ h'(x) = 3 $$

und können nun in die Produktregel einsetzen

$$ u'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ = 4(2x-5) \cdot (3x+4) + (2x-5)^2 \cdot 3 \\= (2x-5)(4(3x+4) + 3(2x-5)) \\ = (2x-5) \cdot (18x +1)$$

Nun müssen wir nur noch von \( v(x) \) die Ableitung berechnen. Es gilt

$$  v(x) = e^{0,5x-3} \\ v'(x) = 0,5e^{0,5x-3} $$

Jetzt können wir endlich ein letztes mal in die Produktregel einsetzen

$$ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\ = (2x-5) \cdot (18x+1) \cdot e^{0,5x-3} +(2x-5)^2 \cdot (3x+4) \cdot 0,5e^{0,5x-3} \\ = (2x-5) \cdot e^{0,5x-3} \cdot  ( 18x+1 + (2x-5) \cdot 0,5 \cdot (3x+4)) \\  = (2x-5) e^{0,5x-3} \cdot (18x + 1 + 3x^2 - 3,5x - 10) \\ = (2x-5) \cdot e^{0,5x-3} \cdot (3x^3 + 14,5x -9)  $$

Grüße Christian