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Hallo,
also erstmal lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass
$$ \sum\limits_{i=1}^n t_i \vec{b}_i = 0 $$
nur erfüllt wird, wenn für alle \( t_i = 0 \) gilt. Wenn es mindestens ein \( t_i \) gibt, das ungleich Null ist, sind diese Vektoren linear abhängig.
Basisvektoren dürfen auch negativ sein. Eine Basis ist auch niemals die eine Basis sondern es gibt unendlich viele verschiedenen Basen.
Eine Basis ist auch ein Span (Erzeugendensystem). Die Basis ist ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraums.
Nun kann ich deinen Untervektorraum nicht 100% erkennen. Sollst du die Basis des Untervektorraums
$$ U_1 := \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ x_1 + 3x_2 + 2x_4 - 2x_1 +x_2 + x_3 = 0 \right\} \subset \mathbb{R}^4 $$
oder
$$ U_2 := \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ : \ x_1 + 3x_2 + 2x_4 = 2x_1 +x_2 + x_3 = 0 \right\} \subset \mathbb{R}^4 $$
bestimmen. Diese Untervektorräume werden über die Gleichungen definiert. Ähnlich der Koordinatengleichung einer Ebene die man noch aus dem Abitur kennt. Alle Punkte aus dem \( \mathbb{R}^4\) die diese Gleichungen erfüllen, liegen in unserem Untervektorraum.
Nun kannst du daraus ein LGS basteln. In beiden Fällen ist das LGS unterbestimmt. Die Lösung dieses unterbestimmten LGS liefert dir dann deine Basisvektoren. Für jeden freiwählbaren Parameter, erhälst du einen weiteren Basisvektor.
Kommst du auf die Lösung des LGS?
Wenn doch noch Probleme auftauchen, dann melde dich gerne nochmal und sag mir einmal, welches der UVRs der richtige ist.
Grüße Christian
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Das macht ja auch erstmal Sinn, da wir in einem Vektorraum auch unendlich viele Vektoren haben.
Wir haben also das LGS
$$ x_1 + 3x_2 +2x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 +x_3 = 0 $$
Wenn wir nun das zweifache der ersten Gleichung von der zweiten abziehen, erhalten wir die Gleichung
$$ -5x_2 + x_3 - 4x_4 = 0 $$
Diese Gleichung enthält die "Informationen" beider Gleichungen. Wir haben 3 Unbekannte in dieser Gleichung. Also stellen wir erstmal die Gleichung nach einer Unbekannten um
$$ x_3 = 5x_2 + 4x_4 $$
Zwei Unbekannte können wir nun frei wählen. Setzen wir \( x_2 = t \) und \( x_4 = s \), erhalten wir
$$ x_3 = 5t + 4s $$
Nun kannst du durch diese Lösung \( x_1 \) bestimmen.
Danach kannst du eine Lösung des LGS in Abhängigkeit von \(s,t \) aufstellen.
Dieser Lösungsvektor beshreibt alle Vektoren die in deinem Untervektorraum liegen. Wenn du dann den Vektor in eine Summe aufteilst (ein Vektor mit Vorfaktor \( t \) und einer mit \( s \)), dann erhälst du zwei Vektoren, die alle deine Vektoren des UVRs erzeugen können.
Grüße Christian ─ christian_strack 17.12.2019 um 11:19
─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:26
$$ x_1 + 3t + 2s = 0 \\ \Rightarrow x_1 = -3t - 2s $$
Damit erhalten wir den Lösunsgvektor
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} -3t -2s \\ t \\ 5t + 4s \\ s \end{pmatrix} $$
Diesen Vektor können wir nun in eine Summe aufspalten
$$ \vec{x} = t \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Der Vektor \( \vec{x} \) steht stellvertretend für alle Vektoren in unserem Untervektorraum. Wenn wir nun einen beliebigen Wert für \( s \) und \( t \) einsetzen, erhalten wir immer einen Vektor der die beiden Gleichungen erfüllt (also in unserem UVR ist).
Das bedeutet wir haben eine Linearkombination gefunden, mit der wir jeden Vektor des UVRs erzeugen können. Das ist gleichbedeutend damit, das
$$ U_2= \mathrm{span}\left( \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} ,\ \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right) $$
Und das ist auch sofort unsere Basis, denn diese beiden Vektoren sind linear unabhängig. ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:48
Vielen lieben Dank den Rest hatte ich schon so ähnlich angedacht .
Grüße ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:54
Der zweite UVR ist der korrekte.
Ich frage mich grade wie ich daraus ein LGS basteln soll denn ich habe ja nur zwei Gleichungen gegeben aber vier Variablen,sollte ich die Gleichungen sinnvoll aufteilen ?
Grüße ─ mimihopsi 17.12.2019 um 10:05