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Hallo,
nehmen wir einen Vektor \( v \in V \) und einen Vektor \( w \in W \).
Wie können wir diese Vektoren jeweils durch die Basen beschreiben?
Nun wenden wir das direkte Produkt auf diese Vektoren an und erhalten den Vektor
$$ (v,w) \in V \oplus W $$
Nun nehmen wir mal alle Vektoren \( (v,0) \) und \( (0,w) \). Wie kannst du diese darstellen?
Versuch dich mal. Wenn doch noch Probleme auftauchen melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ja genau also allgemein können wir jeden Vektor durch Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Bedenke, das es auch Vektorräume gibt, die eine andere Standardbasis haben. Aber nehmen wir einfach mal an \( V = \mathbb{R}^n \) und \( W = \mathbb{R}^m \). Die Idee ist dann übertragbar.
Damit haben wir
$$ v = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i $$
und
$$ w = \sum\limits_{i = 1}^m \mu_i e_i $$
Wenn wir nun aber die direkte Summe anwenden, haben wir
$$ (v,0) = \sum\limits_{i =1}^n \lambda_i (e_i,0) $$
analog können wir \( (0,w) \) darstellen.
Wie können wir dann \( (v,w) \) darstellen?
Grüße Christian ─ christian_strack 17.12.2019 um 11:33
Damit haben wir
$$ v = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i $$
und
$$ w = \sum\limits_{i = 1}^m \mu_i e_i $$
Wenn wir nun aber die direkte Summe anwenden, haben wir
$$ (v,0) = \sum\limits_{i =1}^n \lambda_i (e_i,0) $$
analog können wir \( (0,w) \) darstellen.
Wie können wir dann \( (v,w) \) darstellen?
Grüße Christian ─ christian_strack 17.12.2019 um 11:33
Die Linearkombinationen sind mir jetzt klar.
Nur bei (0,w) müsste ich ja dann erst 0 darstellen und dann w , drehe ich hierbei das in der Klammer dann um wenn ich (0,w) darstellen will ?
Also dann (0,w) = Summenzeichen von i=1 bis m, müh mit dem Index i (0, e mit dem Index i) ?
(v,w) Könnten wir Ja dann darstelln in dem wir (v,w )= Summenzeichen von i =1 bis n Lambda e , Summenzeichen i= 1 bis m und dann das von w . Dies kann man dann bestimmt noch zusammenfassen.
─ mimihopsi 17.12.2019 um 11:52
Nur bei (0,w) müsste ich ja dann erst 0 darstellen und dann w , drehe ich hierbei das in der Klammer dann um wenn ich (0,w) darstellen will ?
Also dann (0,w) = Summenzeichen von i=1 bis m, müh mit dem Index i (0, e mit dem Index i) ?
(v,w) Könnten wir Ja dann darstelln in dem wir (v,w )= Summenzeichen von i =1 bis n Lambda e , Summenzeichen i= 1 bis m und dann das von w . Dies kann man dann bestimmt noch zusammenfassen.
─ mimihopsi 17.12.2019 um 11:52
Ja genau das ist die richtige Richtung.
$$ (0,w) = \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0, e_i) $$
und damit
$$ (v,w) = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i (e_i,0) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0,e_i) $$
Wie viele Basisivektoren brauchen wir somit, um alle Vektoren \( (v,w) \) darstellen zu können? ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:11
$$ (0,w) = \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0, e_i) $$
und damit
$$ (v,w) = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i (e_i,0) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0,e_i) $$
Wie viele Basisivektoren brauchen wir somit, um alle Vektoren \( (v,w) \) darstellen zu können? ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:11
Super!
Also brauchen wir zwei Basisvektoren, da wir einmal v und einmal w darstellen müssen korrekt? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:18
Also brauchen wir zwei Basisvektoren, da wir einmal v und einmal w darstellen müssen korrekt? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:18
Nein, was ich mit den Darstellungen klar machen wollte, ist das wir \( n \) Basisvektoren benötigen um alle \( v \in V \) erzeugen zu können. Außerdem benötigen wir \( m \) Basisvektoren um alle \( w \in W \) erzeugen zu können.
Nun brauchen wir alle diese Basisvektoren um \( (v,w) \in V \oplus W \) darzustellen.
Der Vektor \( (v,w) \) hat nicht nur zwei Einträge.
Nehmen wir mal beispielsweise an, das \( V = \mathbb{R}^2 \) und \( W = \mathbb{R}^3 \) ist.
Dann gilt
$$ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \\ w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$
Der Vektor \( (v,w) \) hat dann die Form
$$ (v,w) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$ ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:39
Nun brauchen wir alle diese Basisvektoren um \( (v,w) \in V \oplus W \) darzustellen.
Der Vektor \( (v,w) \) hat nicht nur zwei Einträge.
Nehmen wir mal beispielsweise an, das \( V = \mathbb{R}^2 \) und \( W = \mathbb{R}^3 \) ist.
Dann gilt
$$ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \\ w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$
Der Vektor \( (v,w) \) hat dann die Form
$$ (v,w) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$ ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:39
Ja gut jetzt ist es klar, dass wir nicht nur zwei benötigen.
Da die Dimension die Anzahl der Elemente einer Basis ist , wäre hier für V(+) W die Dimension n+m := dim V +dim W ? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:49
Da die Dimension die Anzahl der Elemente einer Basis ist , wäre hier für V(+) W die Dimension n+m := dim V +dim W ? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:49
Genau :)
─
christian_strack
17.12.2019 um 12:50
erstmal vielen dank !
Meinst du im ersten Schritt die Standart Basis ? Also e1=(1,0) und e2=(0,1)
Das direkte Produkt mit Hilfe der Standartbasis, wenn ich diese mit v bzw. w multipliziert habe also (v,0) und (0,w)?
Weil dann verwirrt mich die Frage wie ich (v,0) darstellen kann .
Liebe grüße ─ mimihopsi 17.12.2019 um 09:53