Mehrdimensionale Analysis - Quadermaximierung

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Hallo zusammen, Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe. Das Volumen eines Quaders im R^3 mit Kantenlängen x,y,z beträgt V(Q)=xyz. Sei festes c>0 gegeben. Gesucht ist das Quader mit Summe der Kantenlängen x+y+z=c, welcher das grösste Volumen hat. Ich weiss hier leider nicht, bei welcher Funktion genau ich hier nach einem Maximum suchen muss. Wenn ich alleine die Funktion f(x,y,z)=xyz untersuche, bekomme ich kritische Punkte überall da, wo mindestens 2 der Variablen gleich 0 sind. Aber icj weiss nicht, wie ich das mit den Kantenlängen einbauen soll.. Vielen Dank schonmal!!

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
a
anonym,
Punkte: 15
 

Habt ihr Lagrange schon behandelt?   -   maccheroni_konstante, verified vor 3 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

mittels Lagrange können wir diese Aufgabe lösen

$$ \Lambda(x,y,z,\lambda) = xyz - \lambda (x+y+z-c) $$

Wir bestimmen alle partiellen Ableitungen

$$ \begin{array}{ccccc} \frac {\partial \Lambda} {\partial x} & = & yz - \lambda & = & 0\\ \frac {\partial \Lambda} {\partial y} & = & xz - \lambda & = & 0 \\ \frac {\partial \Lambda} {\partial z} & = & xy - \lambda & = & 0 \\ \frac {\partial \Lambda} {\partial \lambda} & = & x+y+z-c & = & 0 \end{array} $$

Wir erhalten damit die Gleichungen

$$ \begin{array}{ccc} xy & = & xz \\ xz & = & xy \\ x+y+z-c & = & 0  \end{array} $$

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt

$$ x = y = z $$

eingesetzt in die letzte Gleichung ergibt das

$$ 3x -c = 0 \Rightarrow x = \frac c 3 $$

Damit erhalten wir die Lösung

$$ \vec{x} = \frac c 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
christian_strack verified
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