Hallo,

der Wert des Integrals, kann als Flächeninhalt zwischen \(x\)-Achse und Funktion interpretiert werden. Dabei ist alles oberhalb der Achse positiv und unterhalb der Achse negativ. Deshalb teilt man die Integration in verschiedene Intervalle auf und nimmt den Betrag, um sicher zu gehen den richtigen Wert zu erhalten.

Ich rechne dir mal dein erstes Integral vor, den Rest bekommst du sicher alleine hin.

$$ \left| \int\limits_{-2}^0 f(x) \mathrm{d}x \right| + \left| \int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{d}x \right| $$

Mit \( f(x) = \frac 1 6 x^3 + \frac 1 4 x^2 -3x \), erhalten wir

$$  \left| \int\limits_{-2}^0 f(x) \mathrm{d}x \right| \\ =  \left| \int\limits_{-2}^0 \frac 1 6 x^3 + \frac 1 4 x^2 -3x \mathrm{d}x  \right| \\ = \left| \frac 1 {24} 0^4 + \frac 1 {12} 0^3 - \frac 3 2 0^2 - (\frac 1 {24} (-2)^4 + \frac 1 {12} (-2)^3 - \frac 3 2 (-2)^2 )\right| \\ | 0 - (- 6) | = 6 $$

und für das zweite Integral

$$  \left| \int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{d}x \right| \\ =  \left| \int\limits_{0}^3 \frac 1 6 x^3 + \frac 1 4 x^2 -3x \mathrm{d}x  \right| \\ = \left| \frac 1 {24} 3^4 + \frac 1 {12} 3^3 - \frac 3 2 3^2 - (\frac 1 {24} 0^4 + \frac 1 {12} 0^3 - \frac 3 2 0^2 )\right| \\ | - \frac {63} 8 - 0  | = \frac {63} 8 $$

Also erhalten wir als Flächeninhalt

$$ A = 6 + \frac {63} 8 = 13,875 $$

Grüße Christian