Hallo,

Die Summe auf der linken Seite geht ja von 1 bis \(2^{n+1}-1\), also über \(1,2,3,....,2^{n}-2,2^n-1,2^n,2^n+1,....,2^{n+1}-1\).

Nun summieren wir zuerst von \(1\) bis \(2^{n}-1\) und addieren die Summe von \(2^{n}\) bis \(2^{n+1}-1\), was ja insgesamt das gleiche ist als hätten wir direkt von \(1\) bis \(2^{n+1}-1\) aufsummiert.

Beispiel n=1:

\(\sum_{k=1}^{2^{2}-1} \frac {1} {k} =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\) 

\(\sum_{k=1}^{2^{1}-1} \frac {1} {k}=1\)

\(\sum_{k=2^{1}}^{2^{2}-1} \frac {1} {k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)

also \(\sum_{k=1}^{2^{2}-1} \frac {1} {k} =\sum_{k=1}^{2^{1}-1} \frac {1} {k}+\sum_{k=2^{1}}^{2^{2}-1} \frac {1} {k}\) 

Gruß Tuffte