Als Bsp. nehme ich \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto 3x^2 -1\)

Für Injektivität muss gelten: \(\forall a,b \in \mathbb{R}: f(a) = f(b) \Rightarrow a=b\)

Setzen wir doch mal \(f(a) = f(b)\), so erhalten wir \( 3a^2-1 = 3b^2 -1 \Longrightarrow a^2 = b^2 \Longrightarrow a = \pm b\)
Hier existieren nun zwei Lösungen und für alle \(b\neq 0\) sind diese auch verschieden. Wählt man bspw. \(a=4\), so erhält man \(b = \pm 4\). Nun gilt \(f(a) = f(b) \Longleftrightarrow f(4) = f(4)\), aber daraus folgt nicht, dass \(4 = -4\) ist.

Somit existiert ein Gegenbeispiel und \(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) nicht injektiv.

Für Surjektivität muss gelten: \(\forall b\in\mathbb{R} \; \exists a \in \mathbb{R} : f(a) = b\)

Lösen wir \(f(a) = 3a^2-1 = b\) nach \(a\) auf, so ergibt dies \(a=\pm \dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{3}}\).
Nun ist \(\sqrt{b+1}\) nur für \(b \geq -1\) definiert. D.h. wähle ich bspw. \(b= -5\), so werde ich kein \(a\) finden, sodass \(f(a) = -5\) ist.