Sei \(\vec{x} = (a,b,c)^T\) der gesuchte Vektor.

Ich nutze hier das Skalarprodukt (und direkt die Länge):


"x-Achse einen Winkel von 45°"
Es muss gelten: \(\vec{x} \circ (1,0,0)^T = \sqrt{2} \cdot \cos 45° \Longrightarrow a = 1\)

"z-Achse einen Winkel von 120°"
Es muss gelten: \(\vec{x} \circ (0,0,1)^T = \sqrt{2} \cdot \cos 120° \Longrightarrow c = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

"y-Achse einen spitzen Winkel einschließt"
Es muss gelten: \(\vec{x} \circ (0,1,0)^T < \sqrt{2} \cos 90° \Longrightarrow b < 0\)

Okay, damit die Länge gewährleistet ist, muss für \(b\) gelten: \( \sqrt{2} =\sqrt{1^2 + b^2 + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 }\). Das überlasse ich dir.