Hmmm, das finde ich ehrlich gesagt auch nicht so leicht. Also, dass die Null drinne ist ist klar, weil H := {Hom(V,W)} bildet natürlicherweise einen K-Vektorraum, die 0 (genauer: der Nullhomomorphismus, also die Abbildung, die alle Elemente von V auf 0 schickt) ist somit in H enthalten. Der ist natürlich klar auch im Untervektorraum U enthalten. Bei den Verknüpfungen bin ich mir aber echt unsicher, aber eigentlich müsste es doch ganz einfach sein: Die Elemente aus U sind Abbildungen, die eingeschränkt auf U Nullabbildungen sind. Also addiert man eigentlich nur 0 + 0, das ist gleich 0, also ist das Ergebnis auch eingeschränkt auf U wieder eine Nullabbildung, somit wieder in U. Analoges gilt für die Skalarmultiplikation, oder irre ich mich da?