Faltung anschaulich verstehen

Aufrufe: 43     Aktiv: vor 1 Monat, 1 Woche

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Hallo,

ich kämpfe seit längerem damit, Faltungen richtig zu verstehen, also diesen Operator für zwei Funktionen \( f,g: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{C}\): 

 \((f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}g(x-t)f(t)dt\)

Ich habe schon die Literatur und das Internet durchgestöbert und mir ist einigermaßen klar geworden, dass die Faltung eine Art gewichtetes Mittel beschreibt (unter der Gewichtsfunktion \(g\)). Nicht ganz klar ist mir allerdings, wieso man die Funktion erst noch um \(x\) verschiebt und spiegelt. Ist das einfach die Definition, die man so vereinbart hat?

Die Faltung ist mir im Zusammenhang der Fourier- und Laplacetransformation begegnet (und ein wenig bei Distributionen).

Danke im Voraus.

Grüße,

h

 

gefragt vor 2 Monate, 4 Wochen
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2.46K
 
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1 Antwort
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Hallo,

da sich die Faltung geometrisch am besten erklären lässt, würde ich dir an dieser Stelle ein Video von Grant Sanderson (3Blue1Brown) zur Hand geben. Er erklärt es besser als ich es könnte. :D

Falls noch etwas unklar bleibt, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 21.92K
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Hey,
tut mir leid das ich mich so spät rückmelde, hatte leider extrem viel zu tun und musste das daher etwas nach hinten schieben.
Danke auf jeden Fall für das Video. So ganz klar ist mir das noch nicht geworden, aber ich schau's mir nochmal ein zweites mal an und melde mich dann nochmal :)
Die Interpretation als gewichtetes Mittel hab ich verstanden, nur die geometrische Deutung macht mir noch zu schaffen.
  -   wirkungsquantum, vor 2 Monate

Kein Problen :)
Wie klappt es mittlerweile?
Ich denke hinter der geometrischen Bedeutung verbirgt sich nichts anders als das gewichtete Mittel.
Ich beziehe mich auf das Video, damit es hoffentlich anchaulicher wird.
Die Gewichtung der Funktion \( g( \tau ) \) entsteht durch die Funktion \( f(\tau ) \). Dadurch das die Funktion nur in einem bestimmten Intervall ungleich Null ist, ist die Multiplikation mit dieser Funktion nur ungleich Null, in diesem Intervall.
Deshalb spiegeln wir die Funktion \( g(\tau ) \) an der \(y\)-Achse und lassen die Funktion langsam in Richtung unsere Gewichtung laufen. Es gibt dann ein Intervall von \( t \), indem beide Funktionen aufeinander treffen.
Die Gewichtung entsteht also aus der geometrischen Idee, die eine Funktion auf die andere zulaufen zu lassen und so nur dort wo die Gewichtungsfunktion nicht Null ist einen Wert für die Faltung zu erzeugen.
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 4 Wochen

Hey,
sorry bin mit dem Antworten schon wieder so spät dran (in einer Woche gehen die Klausuren los, drum ist so viel zu tun/gilt es vieles auf einmal zu beheben).
Ahh ja jetzt habe ich es verstanden! Dann musste das wohl einfach ein wenig reifen. Danke für die ausführliche (und wie immer tolle) Hilfe! :)
Bin mal im Kontext der Signaltheorie kommendes Semester gespannt die Faltung einzusetzen.
  -   wirkungsquantum, vor 1 Monat, 1 Woche

Gar kein Problem :)
so lange es hilft reicht mir das ;)
Ich wünsche dir ganz viel Erfolg bei deinen Klausuren!
  -   christian_strack, verified vor 1 Monat, 1 Woche
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