A ungerade, a^2 ungerade. Beweisverfahren?

Erste Frage Aufrufe: 775     Aktiv: 08.01.2020 um 13:09
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Sei a eine natürliche Zahl. Wenn a^{2} ungerade ist, dann ist auch a ungerade.

Wie kann man diesen Satz beweisen, wenn man zwischen "Induktionsbeweis", "direkter Beweis", "indirekter Beweis" und "Kontraposition" wählen kann?

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Auf jeden Fall direkter Beweis. Induktionsbeweise machen nur Sinn, wenn du Aussagen für beliebige natürliche Zahlen zeigen möchtest.

Du kannst ja mal mit der Definition von ungerade anfangen: \( n \in \mathbb{N} \) heißt ungerade, falls es \( k \in \mathbb{N} \) gibt, sodass \(n=2k+1\).

Anders gesagt also: jede natürliche Zahl, die nicht gerade ist. Wie würdest du ab hier weitermachen?

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Besten Dank. Ich habe per Zufall gesehen, dass meine Frage auf https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_%28Mathematik%29#Direkter_Beweis vorgelöst ist: n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\cdot (2k^{2}+2k)+1. Wenn ich das richtig verstehe, ist die Argumentation, alles, was 2 mal multipliziert ist und dann eins addiert wird, muss ungerade sein, somit sei der Beweis erbracht. Richtig?   ─   swican 08.01.2020 um 13:09

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