Hallo,

das rot markierte ist für dich unverständlich? Davor ist alles klar?

Vor dem roten wird im Prinzip nur jede Potenz der exponentiellen Ausdrücke auf \( x \) gebracht. Bei \( x-1 \) im Exponenten wird durch die Basis geteilt, denn

$$ a^{x-1} = \frac {a^x} a $$

Wenn dann alle Exponenten vereinfacht wurden und alles ausgeklammert wurde, werden auf die linke Seite der Gleichung alle Summanden mit einem \( 2^x \) gebracht und auf die rechte Seite alle Summanden mit \( 3^x \). Dann werden \( 2^x \) bzw. \( 3^x \) ausgeklammert. Das passiert alles in der ersten roten Zeile. Als nächstes wird durch \( 3^x \) geteilt und durch die Klammer von \( 2^x \). So kommen wir auf die nächste rote Zeile. 
Nun gilt

$$ \frac {a^x} {b^x} = \left( \frac a b \right)^x $$

Außerdem wird der Bruch vereinfacht und wir kommen auf

$$ \left( \frac 2 3 \right)^x = \frac 4 9 $$

Wenn wir nun den Logarithmus zur Basis \( \frac 2 3 \) nehmen, erhalten wir

$$ x = 2  $$

Grüße Christian