Question

Vereinigung endlicher Mengen

Aufrufe: 981 Aktiv: 10.01.2020 um 22:21

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Kann mir das jemand erklären?

Vor allem verstehe ich nicht, wie man auf die Definition h(x) kommt und von wo plötzlich die Variable x auftaucht. Vielen Dank.

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gefragt 09.01.2020 um 11:00

AlexanderEglin
Punkte: 12

Ich verstehe nicht so ganz, was die Abbildungen f und g machen. Da steht "f: A->m", aber m ist doch keine Menge sondern einfach eine Zahl, oder sehe ich da etwas falsch? ─ linearealgebruh 09.01.2020 um 12:07

Aus einer anderen Frage heraus vermute ich das \( \textbf{m} \) bzw \( \textbf{n} \) Mengen sind die die Mächtigkeit \( m \) bzw \( n \) haben.
Aber ohne weiteren Kontext wird mir gerade trotzdem nicht ganz klar was man hier versucht zu zeigen. ─ christian_strack 09.01.2020 um 20:55

Es geht um Theorem 2.2.3 :) ─ AlexanderEglin 09.01.2020 um 21:50

Achso, ich glaube ich habs jetzt verstanden: Du willst also zeigen, dass die Vereinigung endlicher Mengen endlich ist. Das kann man zeigen, in dem man eine Bijektion (Theorem 2.2.1) findet. So eine Bijektion lässt sich leicht konstruieren: Man definiert dann h(x) wie oben, also x ist ein Element aus AUB. Weil man annimmt, dass A und B disjunkt sind, gilt für so ein x€AUB, dass entweder x€A oder x€B ist. Je nachdem, wo x quasi herkommt, schickst du es woanders hin; Wenn x aus A kommt, dann ist h(x) = f(x). f(x) bildet hierbei (bijektiv) die Elemente aus A auf natürliche Zahlen ab, und zwar auf die ersten m Zahlen, dass heisst von 0 bis m-1. Das heisst, dass auch h(x) für x€A auf die ersten m Zahlen bijektiv abbildet.

Wenn nun dein x aus B stammt, dann bildest du das x auf g(x) + m ab, Dieses "+m" ist wichtig, damit es eine Bijektion ist; Stell dir vor, das "+m" würde da nicht stehen, sondern einfach "g(x)", dann wäre das ganze aber nicht mehr bijektiv, denn: Seien zb f(a) = 4, und g(b) = 4 für ein a€A und ein b€B, dann wäre h(a) = f(a) = 4, aber auch h(b) = g(b) = 4, also wäre h(a) = h(b) obwohl a≠b, das wäre also nicht injektiv. Mit diesem "+m" verschiebst du quasi das gesamte g(x) nach oben, sodass h(a) nicht gleich h(b) sein kann. Denn dein f(x) kann ja gerade maximal m-1 sein.

Also hast du eine Abbildung, die von AUB nach n+m bijektiv abbildet, und somit ist auch AUB endlich

Achso, ich glaube ich habs jetzt verstanden: Du willst also zeigen, dass die Vereinigung endlicher Mengen endlich ist. Das kann man zeigen, in dem man eine Bijektion (Theorem 2.2.1) findet. So eine Bijektion lässt sich leicht konstruieren: Man definiert dann h(x) wie oben, also x ist ein Element aus AUB. Weil man annimmt, dass A und B disjunkt sind, gilt für so ein x€AUB, dass entweder x€A oder x€B ist. Je nachdem, wo x quasi herkommt, schickst du es woanders hin; Wenn x aus A kommt, dann ist h(x) = f(x). f(x) bildet hierbei (bijektiv) die Elemente aus A auf natürliche Zahlen ab, und zwar auf die ersten m Zahlen, dass heisst von 0 bis m-1. Das heisst, dass auch h(x) für x€A auf die ersten m Zahlen bijektiv abbildet.

Wenn nun dein x aus B stammt, dann bildest du das x auf g(x) + m ab, Dieses "+m" ist wichtig, damit es eine Bijektion ist; Stell dir vor, das "+m" würde da nicht stehen, sondern einfach "g(x)", dann wäre das ganze aber nicht mehr bijektiv, denn: Seien zb f(a) = 4, und g(b) = 4 für ein a€A und ein b€B, dann wäre h(a) = f(a) = 4, aber auch h(b) = g(b) = 4, also wäre h(a) = h(b) obwohl a≠b, das wäre also nicht injektiv. Mit diesem "+m" verschiebst du quasi das gesamte g(x) nach oben, sodass h(a) nicht gleich h(b) sein kann. Denn dein f(x) kann ja gerade maximal m-1 sein.

Also hast du eine Abbildung, die von AUB nach n+m bijektiv abbildet, und somit ist auch AUB endlich

─ linearealgebruh 10.01.2020 um 21:31

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1 Antwort

kaffeebohne · Answer 1 · 2020-01-10T22:20:16Z

Die Abbildung \(h\colon A\cup B\to \{1,2,\dotsc,m+n\}\) welche durch

\(h(x)\colon=\begin{cases}f(x),& \text{wenn } x\in A \\ g(x)+m, &\text{wenn } x\not\in A\end{cases}\)

definiert ist, ist injektiv da aus \(h(x)=h(x')\) entweder \(f(x)=f(x')\) oder \(g(x)=g(x')\) folgt und da \(f,g\) injektiv sind..

Folglich ist \(h\colon A\cup B\to h(A\cup B)\) eine Bijektion auf die Teilmenge \(h(A\cup B)\) von \(\{1,2,\dotsc n+m\}\) welche nach Theorem 2.2.2 endlich ist. Also gibt es eine Bijektion \(\psi\colon h(A\cup B)\overset{\sim}{\to} \mathbf{k}\), für ein \(k\in\mathbb{N}\).

Die Verkettung \(\psi\circ h\) gibt eine Bijektion \(A\cup B\overset{\sim}{\to} \mathbf{k}\), as die Endlichkeit von \(A\cup B\) zeigt.

Im Fall \(A\cap B=\emptyset\) ist \(h\) eine Bijektion und es gilt folglich \(k=m+n\), also die zweite Aussage welche zu beweisen war.