Hallo,
du hast leider einen Vorzeichenfehler.
$$ f'(x) = - \frac {2 \cdot 3} {2x+5} $$
Ansonsten sieht deine Ableitungsvorschrift gut aus, nur das der Vorfaktor damit \( (-1)^n \) ist.
Nun gilt aber \( f^{(k)}(x_0) \). Damit erhälst du
$$ f^{(k)}(2) = (-1)^k \cdot \frac {3 \cdot 2^k \cdot (k-1)!} {(2 \cdot 2 + 5)^k} = 3 \cdot \left(- \frac 2 9 \right)^k (k-1)! $$
Und damit erhälst du die Taylorreihe
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac { 3 \cdot \left(- \frac 2 9 \right)^k (k-1)!} {k!} (x-2)^k = \sum_{k=0}^{\infty} 3 \cdot \frac {\left( -\frac 2 9 \right)^k} k (x-2)^k $$
Dies ist nun deine Taylorreihe die deine Funktion approximiert. Sollst du noch den Fehler berechnen? Denn Diese Reihe konvergiert für \( n \to \infty \) bereits gegen deine Funktion. Du brauchst also nur einen Fehler zu berechnen, wenn du diese Reihe abbrechen willst.
Wenn du den Fehler auf jeden Fall berechnen sollst, dann berechne über \( | x-2 | < 1 \) dein Intervall aus dem du \( x \) wählen darfst. Das ist trivialerweise
$$ x \in (1,3) $$
Mit diesem Intervall ist es schon einfacher den Maximalfehler zu bestimmen, denn wie du schon sagst, wird der Wert größer wenn der Nenner kleiner wird.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
vielen danke für deine ausführliche Erklärung! Ich habe die Aufgabe selber noch einmal sauber und in Ruhe nachgerechnet und dort ist mir dann auch der kleine Vorzeichenfehler selber aufgefallen. Durch deine Hilfe und noch einmal beim Prof. nachfragen habe ich dann noch die letzten Schritte gesehen und hinbekommen.
Vielen Dank! ─ anonym4fb50 12.01.2020 um 20:24