Hallo,
du hast beim berechnen der Ableitung einen Fehler gemacht.
Es gilt
$$ f'(x) = \frac {-e^{\frac {\alpha} x} (\frac {\alpha ^3} {x^2} + \alpha + 2x)} {(\alpha ^2 + x^2)^2} $$
Damit dieser Term Null wird, muss
$$ \frac {\alpha ^3} {x^2} + \alpha + 2x = 0 $$
gelten. Das formen wir um
$$ 2x^3 + \alpha x^2 + \alpha ^3 = (x+ \alpha) (2x^2 - \alpha x + \alpha ^2 ) = 0 $$
Der erste Faktor ist eine reelle Nullstelle und der ander Faktor liefert nur komplexe Lösungen. Da du im reellen bist, können wir diese Lösungen ignorieren.
Wir behandeln also weiterhin nur noch \( x = -\alpha \).
Grüße Christian
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