Relative und absolute Extrema bestimmen

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Ich tue mich etwas schwer mit dieser Aufgabe zum Bestimmen der jeweiligen Extrema. Ich weiß, dass ich die ersten beiden Ableitungen brauche. Die Nullstellen der ersten Ableitung muss ich dann errechnen und diese in meine zweite Ableitung einsetzen um dann die daraus resultierenden Extremstellen zu finden (und um zu Prüfen ob es ein Maximum/Minimum ist).

Das Ableiten bekomme ich soweit hin, dennoch bereitet mir das Ausrechnen der Nullstellen Probleme. Laut wolframalpha handelt es sich sogar um komplexe Nullstellen, wovon ich überhaupt keine Ahnung habe, wie diese zu nutzen sind. 

Hier meine bisherige Rechnung:

Über ein paar helfende Informationen würde ich mich freuen.

Ich danke euch im Voraus!

 

gefragt vor 3 Monate
davido,
Student, Punkte: 18
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast beim berechnen der Ableitung einen Fehler gemacht. 

Es gilt

$$ f'(x) = \frac {-e^{\frac {\alpha} x} (\frac {\alpha ^3} {x^2} + \alpha + 2x)} {(\alpha ^2 + x^2)^2} $$ 

Damit dieser Term Null wird, muss

$$ \frac {\alpha ^3} {x^2} + \alpha + 2x = 0 $$

gelten. Das formen wir um

$$ 2x^3 + \alpha x^2 + \alpha ^3 = (x+ \alpha) (2x^2 - \alpha x + \alpha ^2 ) = 0 $$

Der erste Faktor ist eine reelle Nullstelle und der ander Faktor liefert nur komplexe Lösungen. Da du im reellen bist, können wir diese Lösungen ignorieren.

Wir behandeln also weiterhin nur noch \( x = -\alpha \). 

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
christian_strack verified
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