Die Aufgabe lautet: Zeige: \(\forall n \in \mathbb{N}\): \(n! \le 2 \cdot (\frac {n}{2})^n\)

Beim Induktionsschritt muss ich \(2 \cdot (\frac{n}{2})^n \cdot (n+1) \le 2 \cdot (\frac {n+1}{2})^{n+1} \) zeigen.

Bisher ist mein einziger Ansatz die Ungleichung \((n+1)^n \ge 2n^n\) für alle n \(\in \mathbb{N}\) zu bewesien. Dann ist \(\frac{(n+1)^n}{2n^n} \ge 1\) und man erhält \(2 \cdot (\frac{n}{2})^n \cdot (n+1) \le 2 \cdot (\frac{n}{2})^n \cdot (n+1) \cdot \frac{(n+1)^n}{2n^n} = 2 \cdot (\frac {n+1}{2})^{n+1}  \).
Gibt es da vielleicht eine einfachere Methode?