Homomorphismus - Beweis

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Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass es sich bei g:IR→IR, g(x)=1/x bezüglich der Multiplikation nicht um einen Isomorphismus handelt.


b) Auf welcher Menge und Verknüpfung wäre g ein Homomorphismus? Geben Sie für Urbildmenge und Bildmenge jeweils eine Menge mit Verknüpfung an und zeigen Sie, dass g tatsächlich ein Homomorphismus ist. 

 

c) Zeigen Sie, dass die Abbildung h:IR→IR, h(x)=x/3 mit jeweils der Addition ein Homomorphismus ist. 

 

 

 

gefragt vor 1 Monat, 2 Wochen
s
 
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1 Antwort
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Es gibt viele Dinge zu klären. Erstmal sollte geklärt werden was "Homomorphismus" bedeutet.

Es gibt Homomorphismen von Monoiden, Gruppen, Ringen, Moduln etc. 

In dieser Aufgabe ist höchstwahrscheinlich ein Homomorphismus Abelscher Gruppen gemeint. 

Zu a. :

Du sollst hier nicht zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, sondern, dass sie kein Isomorphismus ist.

Die Abbildung ist kein Isomorphismus weil sie nicht surjektiv ist. Deine Argumentation stimmt leider nicht. Das Element \( y=0 \in \mathbb{R} \) hat kein Urbild unter \(g\), denn es gibt kein \(x\in \mathbb{R}\) mit \(g(x)=\frac{1}{x}=0\).

Was aber noch viel gravierender ist:

\(g\) kann nicht einmal ein Homomorphismus sein, da \(\mathbb{R}\) bezüglich Multiplikation keine Gruppe ist. Das Element \(0\) ist nicht invertierbar i.e. hat kein Inverses.

Daher kann \(g\) kein Isomorphismus sein, egal wie \(g\) definiert ist.

b.

Wir haben in a. gesehen, dass \(0\) kein Inverses hat und folglich \(\mathbb{R}\) keine Gruppe bzgl. Multiplikation ist. Nimmt man \(0\) heraus, dann erhält man eine multiplikative Abelsche Gruppe

\(\mathbb{R}-\{0\}\) .

Man kann jetzt ganz allgemein beweisen, dass für jede Abelsche Gruppe \(G\) die Abbildung

\(G\to G,x\mapsto x^{-1}\) ein Isomorphismus ist.

Injektivität folgt aus der Eindeutigkeit von Inversen Elementen.

Surjektivität folgt aus der Existenz von Inversen Elementen.

Homomorphismus: \((xy)^{-1}\overset{\star}{=}y^{-1}x^{-1}\overset{\text{abelsch}}{=}x^{-1}y^{-1}\). 

\(\star\)

\(xyy^{-1}x^{-1}=xx^{-1}=1\)

c.) Es gilt \(\frac{x+y}{3}=\frac{x}{3}+\frac{y}{3}\) weil in \(\mathbb{R}\) die Distributivgesetze gelten. 

Die Erhaltung von Neutralen und inversen Elementen habe ich nicht gezeigt, da das automatisch folgt sobald man \(f(xy)=f(x)f(y)\) nachgerechnet hat und daher oft nicht in die Definition eines Gruppenhomomorphismus aufgenommen wird..

 

 

 

geantwortet vor 1 Monat, 2 Wochen
k
kaffeebohne,
Student, Punkte: 160
 

Der code wird nicht richtig dargestellt. Ich sehe aber keinen Fehler in meiner Eingabe. Bin etwas verwundert.   -   kaffeebohne, vor 1 Monat, 2 Wochen
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