Aussagenlogische Modellierung und formaler Beweis

Aufrufe: 1189     Aktiv: 16.01.2020 um 07:18
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Hallo,

ich habe die Aufgabe, die folgende Formeln herzuleiten:

Dazu darf ich folgendes anwenden:

Der Term scheint einfach zu sein und die Aussage logisch, doch die formale Beweisführung macht mir Kopfzerbrechen.

Was sind die Prämissen? Das:

Und wie forme ich jetzt weiter um?

VG, Adrian

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Hallo,

ich habe nicht viel mit Aussagenlogik gearbeitet, aber vielleicht können wir das ganze ja zusammen lösen.
Zuerst eine Frage, Hinter \( \beta \) das \( |. \) hat das eine Bedutung, oder ist die zu zeigende Aussage einfach
$$ \neg \alpha \land ( \alpha \lor \beta ) \Rightarrow \beta $$
Darfst du das ganze möglicherweise einfach mit einer Wahrheitstabelle zeigen? Damit wäre es denke ich am einfachsten oder?   ─   christian_strack 12.01.2020 um 16:41
Hallo Christian,
danke für Deinen Vorschlag.
Zu Deiner Frage:
Der Punkt und | haben keine Bedeutung. Habe das korrigiert.
VG, Adrian   ─   adrian142 13.01.2020 um 06:23
Und ja, mit einer Wahrheitstabelle ist das einfach.
Die Aufgabenstellung ist aber diese Umformungsregeln der Aussagenlogik zu benutzen.   ─   adrian142 13.01.2020 um 06:24
Hmm habe da jetzt länger drüber nachgedacht aber mit dem was du gegeben hast, komme ich nicht so wirklich zum Ziel. Eine Art Distributivgesetzt wäre sehr hilfreich.

Vielleicht hast du es auch schon geschafft aber ich schicke dir trotzdem mal meine Gedanken

$$ \begin{array}{cccccc} \neg \alpha \land ( \alpha \lor \beta) \rightarrow \beta \\ \neg( \neg \alpha \land ( \alpha \lor \beta)) \lor \beta \\ (\neg \neg \alpha \lor \neg ( \alpha \lor \beta)) \lor \beta \\ (\alpha \lor ( \neg \alpha \land \neg \beta)) \lor \beta \end{array} $$

Aber so wirklich weiter komme ich damit auch nicht.   ─   christian_strack 15.01.2020 um 11:50
Ich bin mir auch nicht ganz sicher, aber ist das nicht relativ trivial:
\( \quad \neg \alpha \land (\alpha \lor \beta) \implies \beta \\
\iff (\neg \alpha \land \alpha) \lor (\neg \alpha \land \beta) \implies \beta \\
\iff \neg \alpha \land \beta \implies \beta\). Diese Aussage ist trivialerweise wahr, da entweder die Prämisse falsch ist, und daher die Implikation nach Def. wahr, oder die Prämisse ist wahr, und die ist nur wahr, wenn \(\beta\) wahr ist.   ─   chrispy 15.01.2020 um 12:26
Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?   ─   chrispy 15.01.2020 um 12:28
So wie ich es verstanden habe dürfen nur die oben genannten Operationen genutzt werden. Oder nutzt du eine Operation von oben für den Schritt von der ersten zur zweiten Zeile und ich stehe auf dem Schlauch?   ─   christian_strack 15.01.2020 um 13:51
Naja das Distributivgesetz kann man sich ja ganz einfach mithilfe einer Fallunterscheidung herleiten.. oder ist das auch nicht erlaubt?   ─   chrispy 15.01.2020 um 14:11
Hmm das muss Adrian sagen. Da bin ich mir unsicher.   ─   christian_strack 15.01.2020 um 15:17
Wenn ich nach dem Skript gehe, dann dürfen nur die o.g. Operationen genutzt werden. Ich werde das aber nochmal recherchieren,

Die Schritte von Dir, chrispy, sind das, was ich auch habe.
(¬α∧α)∨(¬α∧β)⟹β

Doch wie komme ich mit dem Set an Regeln, das ich habe, darauf?

Danke schon mal für euren Input!   ─   adrian142 16.01.2020 um 07:14
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Du musst zunächst die Implikation auflösen. Also alles in der Prämisse ( alles was davor steht) in Klammern und dann negieren, wir es in den Gesetzen angegeben ist. Dann wendest du 2x DeMorgan an und bist fast schon am Ziel :)

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Danke für Deine Hinweise. Doch wie sieht das aus - Implikation auflösen. Habe da leider keinen Plan.....   ─   adrian142 16.01.2020 um 07:18

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