Umformung Cosinus, Sinus

Aufrufe: 809     Aktiv: 13.01.2020 um 14:35
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Hallo zusammen

 

Leider habe ich ein bisschen Mühe mit der Umformung und danach soll ich es integrieren. Der Term wird immer grösser. Bin mir überhaupt nicht sicher, ob ich es richtig mache. Könnte mir jemand zeigen, wie das am schnellsten und einfachsten geht?

 

Vielen Dank für eure Unterstützung!

Intervall liegt zwischen 0,2pi

Resultat = pi

 

Folgendes habe ich rausbekommen.

 

= cos^2(Θ)sin(Θ) +cos(Θ)*sin(Θ) - cos^2(Θ)sin(Θ) + cos^2(Θ) - cos(Θ) * cos^2(Θ)

= cos(Θ)*sin(Θ)  + cos^2(Θ) - cos(Θ) * cos^2(Θ)

= cos^2(Θ)[cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ) * 1]

= cos^2(Θ)[cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ)]

Gemäss Additionstheorem gibt es für den folgenden Term:

cos^2(Θ)  = 1/2 (1 + cos(2Θ)) 

Danach gibt es:

1/2 (1 + cos(2Θ)) * [cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ)]

1/2 (1 * [cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ)] + cos(2Θ)) * [cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ)]

1/2 (cos(Θ)*sin(Θ)  + 1  - cos(Θ)) + cos^2(2Θ)*sin(Θ)cos(2Θ) + cos(2Θ)) - cos^2(2Θ))

 

 

 

 

 

 

 

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Student, Punkte: 205

 
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1 Antwort
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Hallo,

welche Funktion sollst du genau integrieren? Kannst du nicht einfach jeden Summanden einzeln integrieren?

In deiner dritten Zeile habe ich bereits einen Fehler gefunden. Du klammerst aus jedem Summanden \( \cos^2(\Theta) \) aus, dabei hat der erste Summand kein \( \cos^2(\Theta) \).

Grüße Christian

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Halo Christian

Ich hab mal das eingefügt, was ich integrieren soll. Aber bei cossin gibt es doch die Additionstheoreme, welche das Integrieren vereinfacht!   ─   sayuri 12.01.2020 um 18:52
Ja teilweise helfen die auch, aber wenn ich das richtig sehe, musst du das Integral
$$ \int_0^{2\pi} \cos^2(\Theta)\sin(\Theta)+ \cos(\Theta)\sin(\Theta) - \cos^2(\Theta)\sin(\Theta) + \cos^2(\Theta) - \cos^2(\Theta)\cos(\Theta) \mathrm{d}\Theta $$
berechnen?
Gut zuerst kürzen sich zwei Summanden weg und wir erhalten
$$ \int_0^{2\pi} \cos(\Theta)\sin(\Theta) + \cos^2(\Theta) - \cos^2(\Theta)\cos(\Theta) \mathrm{d}\Theta $$
Nun würde ich die Linearität des Integrals nutzen, um jeden Summanden einzeln zu integrieren
$$ \int_0^{2\pi} \cos(\Theta)\sin(\Theta) + \cos^2(\Theta) - \cos^3(\Theta) \mathrm{d}\Theta = \int_0^{2\pi} \cos(\Theta)\sin(\Theta) \mathrm{d}\Theta + \int_0^{2\pi} \cos^2(\Theta) \mathrm{d}\Theta - \int_0^{2\pi} \cos^3(\Theta) \mathrm{d}\Theta $$

Nun kannst du jedes Integral einzeln berechnen.   ─   christian_strack 12.01.2020 um 21:13
Vielen Dank Christian. Linearität bedeutet, dass man einzeln integrieren kann?
Für den ersten Term gibt es doch die Regel cos(Θ)sin(Θ) dΘ = 0.5 sin(Θ)? Für das zweite Integral 0.5(1+cos(2Θ)). Für das dritte Integral cos^2(Θ) * cos(Θ) = 0.5(1 + cos(2Θ)) * cos(Θ)   ─   sayuri 13.01.2020 um 09:46
Wenn ein Operator \( f \) linear ist, dann bedeutet das
$$ f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) \\ f(\lambda \cdot x) = \lambda f(x) $$
oder allgemein
$$ f(\lambda x_1 + x_2) = \lambda f(x_1) + f(x_2) $$
Das Integral ist ein linearer Operator. Das heißt wir dürfen konstante Vorfaktoren vor das Integral ziehen
$$ \int a \cdot f(x) \mathrm{d}x = a \int f(x) \mathrm{d}x $$
und wir dürfen aus einer Summe als Integrand eine Summe von Integralen machen, also
$$ \int f_1(x) + f_2(x) \mathrm{d}x = \int f_1(x) \mathrm{d}x + \int f_2(x) \mathrm{d}x $$

Es gilt
$$ \sin(\Theta) \cos(\Theta) = \frac {\sin(2 \Theta)} 2 $$
Du kannst das erste Integral aber auch relativ entspannt mittels partieller Integration lösen
Die zweite Vereinfachung stimmt.
Mit der dritten Vereinfachung tust du dir nicht unbedingt einen Gefallen. Ich würde
$$ \cos(\Theta) \cdot cos^2(\Theta) = \cos(\Theta) ( 1- \sin^2(\Theta)) $$
als Umformung nutzen und dann substituieren.   ─   christian_strack 13.01.2020 um 10:46
Danke Christian!!! :)   ─   sayuri 13.01.2020 um 11:52
Sehr gerne :)   ─   christian_strack 13.01.2020 um 14:35

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