Betragsungleichung mit mehreren Beträgen

Aufrufe: 574     Aktiv: 14.01.2020 um 10:26
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Guten Abend zusammen,

ich würde gerne die folgende Betragsungleichung lösen:

|x + 1| >= 5 - 3 |x + 2|

 

Nun gilt es einen Zahlenstrahl zu erstellen und auf diesem entsprechende Werte anzutragen. Der erste Bereich kommt aus dem Unendlichen und endet bei -2, der zweite geht bis -1 und der dritte von dort nach +Unendlich.

Für 1 gilt nun x < -2

Für 2: -2 <= x < -1

Für 3: x >= -1

 

In meinen Lösungen steht nun für die Fälle:

1: (x + 1) <= 0  und (x + 2) <= 0

2: (x + 1) < 0 und (x + 2) >= 0

3: (x + 1) >= 0 und (x + 2) > 0

Um nun zu meiner Frage zu kommen: Woher weiß ich, welche Werte ich in diesem Bereich verwenden muss? Der erste und der letzte Fall erschließen sich mir. Wieso aber gibt es keinen Fall, bei dem (x + 1) >= 0 und (x + 2) < 0 ist und woher weiß ich, dass ich diesen nicht bei 2 verwenden muss/kann/darf?

Leider verwendet Daniel in seinen Videos eine andere Herangehensweise, die das nicht erklärt.

Danke im Voraus für jegliche Hilfe!

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Hallo,

$$ x+1 \geq 0 \\ \Rightarrow x \geq -1 \\ \Rightarrow x \in [-1, \infty)$$

und

$$ x+2 < 0 \\ x < -2 \\ \Rightarrow x \in (-\infty, -2) $$

Nun müssen beide Bedingungen erfüllt werden. Allerdings exisitiert keine Zahl die sowohl größer \( -1 \) ist und gleichzeitig kleiner als \( -2 \). Deshalb müssen wir diesen Fall nicht weiter behandeln. 

Ich hoffe das klärt deine Frage, ansonsten melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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