Nun ja, das steht eigentlich schon mehr oder weniger in der Aufgabe drin.

Da 10x^2 immer größer gleich 0 ist, hat diese Teilfunktion keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Ableitung. Denn, ist der Rest der Funktion negativ, bleibt er mit der Multiplikation mit 10x^2 auch negativ. Ist er positiv, bleibt er positiv. 

Der Rest der Funktion (also das x^2-2x-3) ist also kleiner als 0 für -1 < x < 3.

Und größer als 0 für x > 3 und x < -1. Das findest du ja durch einsetzen verschiedener Werte raus. (z.B. -2, 0, 4)

Multiplizierst du also zu 0^2-2*0-3 die 10*0^2 bleibst du negativ. Für x = -2 und x = -4 Bleibst du positiv. 
Also ist die Funktion im Bereich [-1,;3] monoton fallend und und bei [-inf;-1[ und ]3;inf] streng monoton wachsend.

Die Lösung ist aber nicht ganz korrekt. Da die Ableitung an der Stelle x= 0 ebenfalls eine Nullstelle besitzt (da 10*0^2 = 0), was in der Lösung ja nicht beachtet wurde, hat die Originalfunktion an dieser Stelle einen Terrassenpunkt (zumindest haben wir das damals in der Schule so genannt ^^) die Funktion fällt also erst, hat dann Steigung 0 und fällt danach weiter. 
Nach Definition ist eine Funktion aber erst dann streng monoton fallend, wenn die Steigung in dem gegebenen Intervall immer kleiner als 0 ist. Das ist sie hier aber nicht. Also nur monoton fallend. 

LG Marco