Zu zeigen ist, dass die Abbildung \(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})\overset{\psi}{\to}\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{K})\)

welche durch \(A\mapsto A^T\) gegeben ist ein Isomorphismus von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen ist.

Hierzu muss man nur nachrechnen, dass

1.) \(\psi\) ein Homomorphismus von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen ist und, dass

2.) \(\psi\) invertierbar ist, also dass es einen inversen Homomorphismus gibt.

 Zum Punkt 1.) muss für alle \(A,B\in\mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K}),\lambda\in \mathbb{K}\) \((A+B)^T=A^T+B^T\) und \((\lambda A)^T=\lambda A^T\) gezeigt werden.

Zum Punkt 2.) muss nur gezeigt werden, dass \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})\overset{\phi}{\to}\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K}),B\mapsto B^T\) invers zu \(\psi\) ist. Konkret bedeutet das, dass für alle \(A\in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K}), B\in\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{K})\) gezeigt werden muss

\(A^{TT}=A,B^{TT}=B\).