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Ich kürze mal mit \(s=\mathrm{sin}(t)\) und \(c=\mathrm{cos}(t)\) ab.
Es gilt \(y=s^3=s(1-c^2)\overset{\text{für }\cos(t)\not=0}{=}s-\frac{sx}{c}\).
Hierraus folgt \(yx^2=(\frac{s}{c}x)^3=(s-y)^3\).
Hierraus folgt - da \(x\mapsto x^3\) auf ganz \(\mathbb{R}\) invertierbar ist -
\(s=y+\sqrt[3]{yx^2}\) und folglich
\(s^3+s(\sqrt[3]{x^2}-1)=0\).
Wenn \(s\not=0\), also genau dann wenn \(y\not=0\) dann folgt
\(\sqrt[3]{y}^2=s^2=1-\sqrt[3]{x^2}\).
Du kannst jetzt die positive Wurzel nehmen und bekommst:
\(y=(\sqrt{1-\sqrt[3]{x^2}})^3\).
Das gilt solange \(x,y\not=0\).
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kaffeebohne
Student, Punkte: 160
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Dann musst du einfach nur \(t\) eliminieren, indem du das \(t\) in \(x(t)\) und das \(t\) in \(y(t)\) gleichsetzt. Beachte auch, dass im allgemeinen durch zwei Parametergleichungen \(x(t)=0\) und \(y(t)=0\) durch die Zuweisung \(x\to y\) nicht immer eine Funktion \(f\) definiert ist. Das klappt manchmal nur, wenn man den Definitionsbereich und Wertebereich richtig wählt.
Zum Beispiel bekommt man für \(t\mapsto (x(t)=\mathrm{cos}(t),y(t)=\mathrm{sin}(t))\) einen Kreis (oder allgemeiner eine Lissajous-Figur). Ein Kreis ist aber eine Figur die nicht eindeutig eine Funktion bestimmt. Zu einem \(x\) Wert kommen immer zwei \(y\)-Werte in Frage. Schränkt man den Wertebereich ein, dann kann man eine Funktion \(x\mapsto y\) definieren.
Ich kann aber erst mit konkreten Vorschlägen weiterhelfen, wenn du mir sagst wie \(f\) definiert sein soll. Soll \(f\) durch \(x\mapsto y\) gegeben sein?
─ kaffeebohne 14.01.2020 um 14:27