Hi, die Zuwachsrate gibt an, wie sich das wachstum prozentual in einem Jahr ändert. Nun ist in 1a) der Anfangsbestand und das Jahr danach bekannt. Daraus kann man die Zuwachsrate bestimmen, indem man \( 5x=12 \) nach x auflöst.

Bei exponentiellem Wachstum, gibt es eine Formel, die den Bestand nach einigen Jahren angibt:

\( A(n)=(1+p)^n \cdot A(0) \)

\(A(0)\) ist der Anfangsbestand der Hasen
\(n\) beschreibt die Anzahl der vergangenen Jahre
\(A(n)\) gibt an, wie viele Hasen nach n Jahren leben.
\(1+p\) ist die jährliche Zuwachsrate

b) bis 1711 sind \( n= 6 \) Jahre vergangen. Gesucht wird also nach \( A(6) \). Wenn wir nun die Formel von oben nehmen und alles einsetzen, was wir wissen, erhalten wir:
\( A(6)=\frac{12}{5}^6\cdot5 \) mit dem Taschenrechner kommt man dann auf etwa 29 Hasen.

c) Ansatz: Es soll gelten:
\( A(n)=10 \), gesucht ist das Jahr n, indem 10 Hasen auf der Insel leben. Setzt man nun \( A(n) \) in die Gleichung ein, erhält man:
\( \frac{12}{5}^n\cdot5=10 \), nun beide Seiten durch 5 ergibt
\( \frac{12}{5}^n=5 \), das ist eine Exponentialgleichung, die man mit dem Logarithmus auflösen kann:
\( n=\log_\frac{12}{5}(5) \)