Hi, 

du musst beweisen, dass die Funktion an den Bereichen an denen die "Unterfunktion" wechselt (keine Ahnung wie man das sonst ausdrücken soll ^^) stetig ist. Also muss Zeile 1 für x -> -3 gegen 3 gehen, da f(-3) = 3.

Genauso muss Zeile 3 für x -> -3 gegen 3 gehen und für x -> 0 gegen den gleichen Grenzwert wie Zeile 4

Zeile 4 kannst du dir deutlich vereinfachen, indem du verwendest, dass ln(e^k) = k ist. Also Zeile 4 ist gleich x+2.

Dass die Unterfunktionen an sich auch stetig sind, solltest du hier wahrscheinlich verwenden dürfen, da dies für lineare und rationale Funktionen trivial ist und die gebrochen rationale Funktion für x < -3 auch stetig ist, da ihre Definitionslücke bei x = 3 ist.

So viele "ist"... mein alter Deutschlehrer würde mich umbringen... aber wir sind hier ja zum Glück nicht im Deutschunterricht :D

Ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen,

LG Marco

Ich schreibe noch etwas ergänzend zu marcos verständlicher und korrekter Antwort:

Dass die Funktion in \(x=-3\) nicht stetig ist sieht man intuitiv sofort ein, wenn man

\(\frac{2x}{x+3}=\frac{2}{1+\frac{3}{x}}\) beachtet: Stellt man sich vor \(x\) kommt von unten immer näher an \(-3\) heran, dann sieht man, dass der Nenner gegen \(0\) geht, während der Zähler konstant bleibt.

Das kann man mit einer Ausnahmefolge nachrechnen, zum Beispiel \(x_n=-\frac{1}{n}-3\), was zum Beweis der Nicht-Stetigkeit in \(x=-3\) schon ausreicht.

Ich würde aber anders argumentieren:

Angenommen es gelte: \(\mathrm{lim_{x\nearrow -3}}\frac{2x}{3+x}=3\), dann folgte \(\frac{1}{3}=\frac{1}{\mathrm{lim}_{x\nearrow -3}\frac{2x}{3+x}}=\mathrm{lim}_{x\nearrow -3}\frac{3+x}{2x}=0\), Widerspruch.

Die Stetigkeit an der Stelle \(0\) ist klar, da \(x+2\) und \((x+2)^2-2\) stetig sind und an der Stelle \(x=0\) den gleichen Wert haben.

Die Nicht-Stetigkeit an der Stelle \(x=-3\) wurde schon gezeigt und deshalb ist es überflüssig sich noch \(x\searrow -3\) anzuschauen. Hätte man aber Probleme damit den Übergang \(x\nearrow -3\) zu verstehen, dann könnte man aber umgekehrt diesen ganz weglassen und die Unstetigkeit an der Stelle \(-3\) aus \(\mathrm{lim}_{x\searrow -3}(x+2)^2-2=-1\not= 3\) folgern, was einfacher ist.

Hier ein Bild: