Man muss hier nur Ableitungen berechnen und einsetzen. Kannst du denn die erste und zweite Ableitung bestimmen?

Hallo!

Schreibe doch zunächst den Ausdruck um:

\(\displaystyle  \ln\left(\sqrt[7]{\frac{x-1}{x^2+2x-3}}\right) = \frac{1}{7}\ln\left(\frac{x-1}{(x+3)(x-1)}\right) = -\frac{1}{7}\ln (x+3)\).

Nun schaust Du dir die Ableitungen an:

\(\displaystyle \begin{array}{l} f^{(1)}(x) = -\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{x+3} \\ f^{(2)}(x) = -\frac{1}{7} \cdot\frac{-1}{(x+3)^2} \\ \cdots \\ f^{(k)}(x) = -\frac{1}{7}\cdot\frac{(-1)^{k+1}}{(x+3)^k} \end{array}\)

Nun wendest Du die Formel an:

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \quad\Longrightarrow\quad -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\cdot \frac{1}{7}\frac{(-1)^{k+1}}{4^k}\cdot (x-1)^k\). Für \(\displaystyle k=2 \) erhälst Du also: \(\displaystyle \frac{1}{224}(x-1)^2 \) – sprich \(\displaystyle \frac{1}{224} \) ist der gesuchte Vorfaktor.