Ein Ball wird im Punkt P(0|2) abgeworfen und schlägt im Punkt Q(40|0) auf.
a) Zeigen Sie, dass die Graphen aller Funktionen f mit f(x)=kx2-(40k+1/20)x+2 mögliche Flugbahnen beschreiben. Welche Einschränkungen muss man für k vornehmen?
b) An welcher Stelle erreicht eine Flugbahn ihren höchsten Punkt?
Hallo,
für a): Am einfachsten ist es die Punkte P und Q in die Funktionsgleichung einzusetzen:
\( f(0)=k*0^2-(40k+\frac {1}{20})*0+2=2 \) damit liegt der Punkt P auf allen Funktionen der Schar.
\( f(40)=k*40^2-(40k+ \frac {1}{20})*40+2=k*40^2-k*40^2-2+2=0 \) und damit liegt der Punkt Q ebenfalls auf allen Funktionen. Wie genau der Ball durch die Luft geflogen ist, weiß man nicht, er ist nur auf jeden Fall durch die beiden Punkte gegangen. Da der Ball eine nach unten geöffnete Parabel fliegt, ist die Einschänkung, dass k echt kleiner 0 (also auch nicht 0) sein muss.
für b): Das Diffenzieren der Gleichung ist einfach: Konstante Faktoren, sprich \( k ; (40k+\frac {1}{20}) \) bleiben erhalten, die Ableitung von \( x^2 \) ist \( 2x \) und Konstanten wie die 2 fallen komplett weg:
\( k*2x-(40k+\frac {1}{20})=2k(x-20)-\frac {1}{20} \)
Die Ableitung hat ihre Nullstelle in Abhängigkeit von k bei \( x=20+\frac {1}{40k} \)
Streng genommen müsstest du jetzt noch mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung für Extrema) prüfen ob es sich wirklich um einen Hochpunkt handelt, das solltest du im Zweifelsfall aber auch alleine hinbekommen.
(Twitter)
