Hallo,

durch \( x<<l \), können wir zwei rechtwinklige Dreiecke annehmen. 

Dadurch und Pythagoras ergeben sich die beiden Gleichungen

$$ \begin{array}{ccc} r^2 + k^2 & = & (r+x)^2 \\ x^2 + l^2 & = & k^2 \end{array} $$

mit \( k \) der angenäherten Kreisbogenlänge. Durch umstellen und gleichsetzen der Gleichungen erhalten wir

$$ \begin{array}{cccc} & (r+x)^2 - r^2 & = &  x^2 + l^2 \\ \Rightarrow & r^2 + 2xr + x^2 - r^2 & = & x^2 + l^2 \\ \Rightarrow & 2xr & = & l^2 \\ \Rightarrow & x & = & \frac {l^2} {2r} \end{array}   $$

Grüße Christian