Hallo,

zur a)
Wenn wir durch eine komplexe Zahl teilen, erweitern wir den Bruch um das komplex konjugierte des Nenners. Dadurch erhalten wir einen reellen Nenner und können die komplexe Zahl in die kartesische Form (\(z = a+bi\)) bringen. 

Allerdings ist die Lösung nicht ganz korrekt, denn

$$ i^{4n+1} = i $$

Somit ist

$$ i^{13} = i $$

Oder anders, du befindest dich auf der positiven imaginären Achse. Von der positiven reellen Achse ist das ein Winkel von

$$ 90^{\circ} = \frac {\pi} 2 $$

also

$$ i = e^{i \frac {\pi} 2 } $$

zur ii)
hier wird die komplexe Zahl in die Eulerdarstellung gebracht, da die Potenz von der kartesischen Form nicht sehr einfach zu berechnen ist, also von

$$ z^n=(a+bi)^n $$

deshalb bringen wir die Zahl in die Eulerdarstellung

$$ z^n= (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in \varphi} $$

Wenn du aber den Realteil und Imaginärteil bestimmen sollst, bist du hier noch nicht fertig. Du musst die Zahl wieder zurück in die kartesische Form bringen. Denn es gilt

$$ \operatorname{Re}(a+bi) = a \quad \operatorname{Im}(a+bi) = b $$

zu b)
Hier geht es anscheinend um das Wurzelziehen. Deshalb wie beim potenzieren, bringen wir die komplexe Zahl in Eulerdarstellung. Für die \( n\)-te Wurzel gilt dann

$$ \sqrt[n]{z} = e^{i\frac {\varphi + 2\pi k} n} $$

mit \( k = 0,1,2,\ldots, n-1 \). Wenn du die \( k \) nacheinander einsetzt, erhälst du deine Wurzeln. 

Grüße Christian