Fragen zum Youtube Video "Beweis, dass Wurzel 11 irrational bzw. nicht rational ist"

Erste Frage Aufrufe: 827     Aktiv: 21.01.2020 um 12:53
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Ich verstehe nicht, warum es an Stelle 1:50 heißt: "Weil 11 eine Primzahl ist". Unabhängig von der 11; wenn p^2 durch 6 teilbar ist, dann ist p auch durch 6 teilbar, weil es nichts anderes als p*p ist oder?
Warum spielt die Primzahl in seinen Überlegungen eine Rolle? 

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11 ist nunmal eine Primzahl und für Primzahlen gilt das immer, weshalb er es ohne weiteres prüfen so nutzen kann. Allgemein gilt das nur, wenn die Primzahlenzerlegung der Zahl keine Primzahl doppelt hat.

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Student, Punkte: 367

 
Ich verstehe aber nicht warum es heißt, p^2 ist durch 11 teilbar und weil 11 eine Primzahl ist, dann ist p auch durch 11 teilbar.
Ich nehme jetzt mal an: p^2 = 12*q^2. So ist 12*q^2 durch 12 teilbar. p^2 ist durch 12 teilbar. Da p^2 nichts anderes als p*p ist, muss p ja auch durch 12 teilbar sein, oder?   ─   vanbudweiser 21.01.2020 um 12:16
nein, da 12 die Primfaktorzerlegung 2*2*3 hat gilt diese Regel nicht. 6^2 ist 36, das ist durch 12 teilbar, 6 ist aber nicht durch 12 teilbar   ─   Gwinzy 21.01.2020 um 12:18

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Sei \(p\) eine Primzahl. Dann gilt für jede ganze Zahl \(z\)

\(p\mid z^2\implies p\mid z\).

Beweis:

Sei \(z\) eine ganze Zahl für die das nicht gilt. Sei

\(z=p_1^{\alpha_1}\dotsc p_k^{\alpha_k}\) die Primzahlzerlegung von \(z\).

Dann gilt \(z^2=p_1^{2\alpha_1}\dotsc p_k^{2\alpha_k}\).

Angenommen \(p\) teilt \(z^2\). Dann muss wegen der Eindeutigkeit der Primzerlegung \(p=p_i\) folgen für ein \(i\in \{1,\dotsc,k\}\).

Hierraus folgt \(p\mid z\). 

Der gleiche Beweis zeigt auch \(p\mid ab\implies p\mid a\) oder \(p\mid b\).

 

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