Hallo,

ja wir können auch über die Determinante ein LGS auf Lösbarkeit überprüfen. Sei

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & a-3 \\2 & 2 & 6 \\2 & a+2 & 8-a \end{pmatrix} $$

deine Koeffizientenmatrix, und seien \( A_i \) die Matrizen, in denen die i-te Spalte durch den Vektor

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$

ausgetauscht wurde, also beispielsweise

$$ A_2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & a-3 \\2 & 2 & 6 \\2 & 4 & 8-a \end{pmatrix} $$

, dann ergibt sich durch die Cramersche Regel dein Lösungsvektor

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $$

zu 

$$ \begin{array}{ccc} x_1 &  = & \frac {\mathrm{det}(A_1)} {\mathrm{det}(A)} \\ x_2 &  = & \frac {\mathrm{det}(A_2)} {\mathrm{det}(A)} \\ x_3 &  = & \frac {\mathrm{det}(A_3)} {\mathrm{det}(A)} \end{array} $$ 

Die Lösbarkeit deines LGS ergibt sich nun folgendermaßen:

Wenn 

$$ \mathrm{det}(A) \neq 0 $$

gilt, dann bestitzt das LGS eine eindeutige Lösung. 

Wenn 

$$ \mathrm{det}(A) = 0 $$

dann gibt es zwei Fälle die auftretten können. Wenn zusätzlich

$$ \mathrm{det}(A_i) \neq 0 $$

für eine oder mehrere \( i \) gilt, dann hat das LGS keine Lösung. Wenn für alle 

$$ \mathrm{det}(A_i) = 0 $$

gilt, dann hat das LGS entweder keine oder unendlich viele Lösungen.

Wie du siehst, kann hier aber keine eindeutige Aussage darüber getroffen werden, wann das LGS unendlich viele Lösungen hat. Das kannst du leider nur über die Zeilenstufenform oder dem Rang der Matrix bestimmen (den du allerdings auch nur aus der Zeilenstufenform erhälst). 

Allerdings kannst du das \( a \) berechnen, für das der letzte Fall eintritt und es ansonsten einsetzen und überprüfen. 

Grüße Christian