Das funktioniert nicht mit Variation der Konstanten. Man kann es lösen, indem man die umgekehrte Produktregel anwendet.

\( y'+\sin(x)y=e^x(1+\sin(x)) \)

Nun betrachten wir den Term \( \sin(x)y \) und verwenden \( e^{\int \sin(x)}=e^{-\cos(x)} \). Wenn wir diesen Term mit der Linken Seite multiplizieren, haben wir in einem Summanden \( e^{-\cos(x)} \) und in einem die Ableitung stehen:

\( y'e^{-\cos(x)}+\sin(x)e^{-\cos(x)}y=e^{-\cos(x)}e^x(1+\sin(x)) \)

Nun haben wir auf der linken Seite die umgekehrte Kettenregel dastehen \( f'g+g'f = (fg)' \):

\( \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\cdot e^{-\cos(x)} + \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(e^{-\cos(x)})\cdot y= \frac{\mathrm d }{\mathrm d x}(e^{x-\cos(x)}) \)

das vereinfacht sich zu:

\( \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(e^{-\cos(x)}\cdot y)= \frac{\mathrm d }{\mathrm d x}(e^{x-\cos(x)}) \)

beide Seiten nach x integrieren gibt:

\( e^{-\cos(x)}\cdot y= e^{x-\cos(x)}+c \)

und damit die Lösung:

\( y(x)=e^x+c e^{\cos(x)} \)