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Hallo,
wir wollen Rechtecke basteln, deren Summe den Flächeninhalt unter der Kurve approximiert.
$$ S = \sum\limits_{i=1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1} ) $$
Den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke wird über
$$ f(t_i) (x_i - x_{i-1} ) $$
berechnet. Dabei ist \( f(t_i ) \) die Höhe und \( (x_i - x_{i-1} ) \) die Breite der Rechtecke.
Nun hast du die Zerlegung der Breite bereits gegeben, nämlich
$$h = \frac {b-a} n $$
Mit dieser Zerlegung, zerlegst du das Intervall \( [a,b] \) in \(n \) gleichbreite Rechtecke. Was ist bei dir \( a \) und was ist \( b \)?
Wir erhalten also die Reihe
$$ S = \sum\limits_{i=1}^n f(t_i) \frac {b-a} n $$
Was ist nun dein Funktionswert \( f(t_i) \)?
Grüße Christian
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geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Sehr gerne :)
Ja genau das sind deine Grenzen. Genau es gilt
$$ f(x) = e^x $$
nun müssen wir noch \( x \) so ändern, das wir für ein \( i \), einen \( x \)-Wert erhalten aus dem Intervall
$$ x_i - x_{i-1} $$
Wir wollen also im i-ten Schritt auch im i-ten Rechteck landen.
Unsere Rechtecke haben die Breite
$$ x = \frac 1 n $$
Wenn wir jetzt beispielsweise im dritten Rechteck landen wollen, was fehlt dann im folgenden Ausdruck
$$ x_i = ? \cdot \frac 1 n $$
─ christian_strack 22.01.2020 um 13:34
Ja genau das sind deine Grenzen. Genau es gilt
$$ f(x) = e^x $$
nun müssen wir noch \( x \) so ändern, das wir für ein \( i \), einen \( x \)-Wert erhalten aus dem Intervall
$$ x_i - x_{i-1} $$
Wir wollen also im i-ten Schritt auch im i-ten Rechteck landen.
Unsere Rechtecke haben die Breite
$$ x = \frac 1 n $$
Wenn wir jetzt beispielsweise im dritten Rechteck landen wollen, was fehlt dann im folgenden Ausdruck
$$ x_i = ? \cdot \frac 1 n $$
─ christian_strack 22.01.2020 um 13:34
Dann wäre im Ausdruck xi= 3 * 1/n bzw. xi= k*1/n
─
unixmelo
22.01.2020 um 13:37
Genau :)
Wir erhalten also die Riemmansche Summe
$$ \sum\limits_{i=1}^n e^{\frac i n} \cdot \frac 1 n $$
Um nun das integral zu approximieren, wollen wir das die Intervalle immer kleiner werden, bis sie quasi unendlich dünn werden. Dafür nutzen wir den Limes
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n e^{\frac i n} $$
Kannst du den Grenzwert berechnen? ─ christian_strack 22.01.2020 um 13:45
Wir erhalten also die Riemmansche Summe
$$ \sum\limits_{i=1}^n e^{\frac i n} \cdot \frac 1 n $$
Um nun das integral zu approximieren, wollen wir das die Intervalle immer kleiner werden, bis sie quasi unendlich dünn werden. Dafür nutzen wir den Limes
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n e^{\frac i n} $$
Kannst du den Grenzwert berechnen? ─ christian_strack 22.01.2020 um 13:45
Grundsätzlich, ja. Allerdings weiß ich nicht genau wie ich das mache mit Sigma.
─
unixmelo
22.01.2020 um 13:47
Wir haben hier eine geometrische Reihe vorliegen. Diese ist vor der Grenzwertbetrachtung sogar endlich.
Es gilt allgemein
$$ \sum\limits_{i=0}^n q^i = \frac {q^{n+1} -1} {q-1} $$
Was ist hier dein \( q \)? ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:02
Es gilt allgemein
$$ \sum\limits_{i=0}^n q^i = \frac {q^{n+1} -1} {q-1} $$
Was ist hier dein \( q \)? ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:02
Mein q müsste dann e sein.
─
unixmelo
22.01.2020 um 14:08
Es ist
$$ q = e^{\frac 1 n} $$
─ christian_strack 22.01.2020 um 14:10
$$ q = e^{\frac 1 n} $$
─ christian_strack 22.01.2020 um 14:10
e^1/n setze ich dann in den rechten Ausdruck ein und bestimme den Limes. Dann wäre ich fertig oder?
─
unixmelo
22.01.2020 um 14:12
Wir müssen noch eine kleine Indexverschiebung machen. Unsere Riemannsumme geht bei \( i=1 \) los. Um den Grenzwert einer geometrischen Reihe zu bestimmen, brauchen wir \( i=0 \).
Wir erhalten also
$$ \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac 1 n e^{\frac {i+1} n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \frac {e^{\frac n n} - 1 } {e^{\frac 1 n} -1} $$
Ich sehe gerade nur das der Grenzwert nicht ganz passt. Ich muss nochmal kurz überlegen wo mein Denkfehler liegt. ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:20
Wir erhalten also
$$ \lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac 1 n e^{\frac {i+1} n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \frac {e^{\frac n n} - 1 } {e^{\frac 1 n} -1} $$
Ich sehe gerade nur das der Grenzwert nicht ganz passt. Ich muss nochmal kurz überlegen wo mein Denkfehler liegt. ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:20
Ah ja ich habs. Wir erhalten
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \frac {e - 1} {e^{\frac 1n} -1} $$
Anstatt nun \( n \) gegen unendlich laufen zu lassen, setzen wir
$$ x = \frac 1 n $$
und lassen \( x \) gegen Null laufen
$$ \lim\limits_{x\to 0} (e-1) \frac x {e^x-1} $$
Um diesen Grenzwert zu bestimmen, nutze l'hospital. Welchen Grenzwert erhalten wir? ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:27
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 n \frac {e - 1} {e^{\frac 1n} -1} $$
Anstatt nun \( n \) gegen unendlich laufen zu lassen, setzen wir
$$ x = \frac 1 n $$
und lassen \( x \) gegen Null laufen
$$ \lim\limits_{x\to 0} (e-1) \frac x {e^x-1} $$
Um diesen Grenzwert zu bestimmen, nutze l'hospital. Welchen Grenzwert erhalten wir? ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:27
Daraus folgt der Grenzwert -1 + e.
─
unixmelo
22.01.2020 um 14:42
Ja genau. Den mit l'hospital folgt
$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac x {e^x -1 } = 1 $$
Als Probe
$$ \int\limits_0^1 e^x \ \mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e-1 $$
Was unser Ergebnis ist :) ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:58
$$ \lim\limits_{x \to 0} \frac x {e^x -1 } = 1 $$
Als Probe
$$ \int\limits_0^1 e^x \ \mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e-1 $$
Was unser Ergebnis ist :) ─ christian_strack 22.01.2020 um 14:58
Vielen vielen Dank für deine Mühe und Zeit! Das hat mir aufjedenfall weitergeholfen.
Das Forum hier habe ich definitiv im Blick. Dann wünsche ich dir noch einen entspannten Tag! :D ─ unixmelo 22.01.2020 um 15:17
Das Forum hier habe ich definitiv im Blick. Dann wünsche ich dir noch einen entspannten Tag! :D ─ unixmelo 22.01.2020 um 15:17
Sehr gerne und freut mich zu hören :)
Den wünsche ich dir auch!
Wenn die Frage für dich geklärt ist, würde ich dich noch drum bitten diese zu schließen indem du auf das Häckchen links neben meiner ersten Antwort klickst. :) ─ christian_strack 22.01.2020 um 15:26
Den wünsche ich dir auch!
Wenn die Frage für dich geklärt ist, würde ich dich noch drum bitten diese zu schließen indem du auf das Häckchen links neben meiner ersten Antwort klickst. :) ─ christian_strack 22.01.2020 um 15:26
vielen Dank für deine Antwort!
a = 0 und b = 1.
Ich soll das Integral e^x dx integrieren, also ist dann f(ti) = f(e)^x, oder?
─ unixmelo 22.01.2020 um 13:28