Zeigen, dass Abbildungen linear sind (einfach)

Aufrufe: 78     Aktiv: vor 2 Wochen, 3 Tage

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Moin Leute. Ich pauke gerade ein bisschen für meine Lineare Algebra Klausur und bin dann auf diese schon etwas ältere Aufgabe gestoßen, die ich nicht so ganz verstehe:

Das sieht eigentlich ganz einfach aus, nur bin ich mir nicht ganz sicher wie ich das aufschreiben soll. Würde das für L so in Ordnung gehen?:

\( L[\lambda P(X) + Q(X)] = [\lambda P+Q](X-2) = \lambda P(X-2) + Q(X-2) = \lambda L[P(X)] + L[Q(X)]\)

Ich hätts ganz einfach so gemacht, ich frage mich aber ob dieser Schritt von [P+Q](X-2) zu P(X-2) + Q(X-2) so ganz klar ist, deswegen habe ich mir eine weitere Variante überlegt:

\( P(X) = a + bX + cX^2\)

\( Q(X) = d + eX + fX^2\)

a,b,c,d,e,f sind aus IR

Dann: \( L[\lambda P(X) + Q(X)] = L[\lambda a + \lambda bX + \lambda cX^2 + d + eX + fX^2] = L[(\lambda a+d) + (\lambda b+e)X + (\lambda c+f)X^2] \) \( = (\lambda a+d) + (\lambda b+e)(X-2) + (\lambda c+f)(X-2)^2 = \lambda(a + b(X-2) + c(X-2)^2) + (d + e(X-2) + f(X-2)^2)  = \lambda L[P(X)] + L[Q(X)]\)

Die zweite Variante wäre halt nur ein bisschen länger, aber an sich sollten diese beiden Varianten doch genau gleich sein oder? Also würde das erste so ausreichen?

Bei der zweiten Abbildung verstehe ich leider nicht, was P(2)(X²-1) nun bedeuten soll. Normalerweise hat P ja quasi nur ein Argument in der Klammer danach, hier sind zwei Klammern. Wie soll man das interpretieren? Danke im voraus!

 

gefragt vor 2 Monate, 2 Wochen
linearealgebruh,
Student, Punkte: 537
 

Hallo,

für die \( L \) würde ich eher so vorgehen wie in deinem zweiten Fall. Der erste Fall ist ja eher das was du zeigen sollst. Aber du musst schon mit Operationen zeigen, dass das wirklich gilt und das tust du im zweiten Fall.

Einen Ausdruck wie
$$ P(2)(x^2-1) $$
habe ich auch noch nicht gesehen. Würde am ehesten sagen, dass das ein Schreibfehler ist, aber sicher bin ich mir nicht.
  -   christian_strack, verified vor 2 Monate, 2 Wochen

Ist das vielleicht so ein Einsetzungshomomorphismus? Also man setzt erst (X²-1) in das Polynom ein, dann setzt man für jedes X eine 2 ein? Dann wäre das ganze ja einfach P(3) .... Oder könnte es vielleicht P(2) * P(X²-1) bedeuten? Ich teste es mal, es muss auf alle Fälle linear sein   -   linearealgebruh, vor 2 Monate, 2 Wochen

Ist es vielleicht
$$ P(2) \cdot (x^2-1) $$
  -   christian_strack, verified vor 2 Monate, 2 Wochen

Das könnte es natürlich auch sein, hmmmmm   -   linearealgebruh, vor 2 Monate, 2 Wochen

Ich rechne auch mal etwas rum :p
  -   christian_strack, verified vor 2 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Ne andere Idee hätte ich nicht wirklich, aber $$ P(2) \cdot (x^2-1) $$ wäre linear.
geantwortet vor 2 Monate, 2 Wochen
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 21.99K
 

Haha, danke dir für die Antwort, aber die LA Prüfung hab ich schon hinter mir :P   -   linearealgebruh, vor 2 Wochen, 3 Tage

Das hatte ich damals schon geschrieben. In ein paar Fragen wurden wenn die Frage quasi geschlossen ist, die Kommentare als Antworten gesetzt damit diese nicht mehr unbeantwortet sind. :)   -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 3 Tage

Ich hoffe die Klausur ist gut gelaufen auch wenn wir hier nicht unbedingt auf eine passende Lösung der zweiten Aufgabe gekommen sind :D   -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 3 Tage

Achso, hab ich gar nicht bemerkt! Joa, Klausur wurden leider nur 2.3, war eigentlich relativ einfach aber ich habe doofe Fehler gemacht :(   -   linearealgebruh, vor 2 Wochen, 3 Tage

Naja 2.3 ist doch völlig in Ordnung. Klausuren waren bei mir auch meistens eher eine Katastrophe :D
Verdammten Flüchtigkeitsfehler im Klausurstress :p
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 3 Tage
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