Auf Surjketivität prüfen

Aufrufe: 639     Aktiv: 23.01.2020 um 11:37
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Zeigen sie mathematisch, dass f(x) = lnx eine surjektive Funktion ist.

Lösung:

Wir mussen zeigen, dass für jedes b ∈ R ein x im Definitionsbereich existiert, so dass f(x) = b. In unserem Fall ist dies b = ln x =⇒ x = e^b ∈ R +

Da die positiven Zahlen eine Teilmenge des Definitionsbereichs sind, ist der Beweis erbracht.

Kann mir jemand das erklären? Warum begrenzt man die R+? In der Aufgabestellung ist nicht mal gegeben, dass man das für den Wertebereich untersuchen muss. Also könnte man auch einfach von der ganzen Menge R ausgehen oder?

Ich dachte immer, dass Surjektivität folgendermaßen geprüft wird: Nach x umstellen und dann gucken welche Werte man für b einsetzen kann. In dem Wertebereich wäre dann die Funktion surjektiv. Aber mann kann hier für b auch negative Zahlen einsetzen oder e^(-10) geht auch oder? 

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Solange mit \( \ln \) nicht der komplexe Logarithmus gemeint ist, ist der Definitionsbereich \( \mathbb{R}^+ \). Das liegt daran, dass z.B. \( \ln(-1) \) im reellen nicht definiert ist.

Die Argumentation ist meiner Meinung nach aber falsch. Die positiven reellen Zahlen sind der Definitionsbereich und keine Teilmenge davon.

 

 

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Ja, der Defintionsbereich aber nicht der Wertebereich,
Surjektivität beweist doch, so wie ich das oben beschrieben habe oder?   ─   itsmeagain 22.01.2020 um 21:02
Ja du hast es richtig beschrieben. Wenn man das nach x umstellt erhält man \( x= e^b \) und egal welches b man einsetzt, \( e^b \) ist immer positiv. Das heißt x kannn nur positive Werte annehmen.   ─   holly 22.01.2020 um 21:07
Ach, jetzt habe ich das verstanden, Die Funktion ist surjektiv, weil man für b alles einsetzen kann, der Definitionsbereich ist jedoch begrenzt.   ─   itsmeagain 22.01.2020 um 21:34

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