Bei der homogenen Variante kann man den Exponentialansatz verwenden:

\( y''''+5y''+4y = 0 \)

Substituiere \( y=e^{\lambda x} \):

\( \lambda^4 e^{\lambda x}+ 5\lambda^2 e^{\lambda x}+ 4e^{\lambda x}=0 \)

Durch den Satz des Nullprodukts, reduziert sich das auf das Lösen des Polynoms:

\( \lambda^4+ 5\lambda^2+ 4=0\)

Durch Substitution von \( z=\lambda^2 \) und Lösen der quadratischen Gleichung erhält man:

\( \lambda_1=i, \lambda_2=-i, \lambda_3=2i, \lambda_4=-2i \)

Durch die Resubstitution der Lösungen und die eulersche Identität \( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} = \cos\left(y \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( y\right) \), erhält man die homogene Lösung:

\( y(x)=c_1 \cos(x)+c_2\sin(x)+c_3\cos(2x)+c_4\sin(2x) \)

Für die partikuläre Lösung musst du eine Funktion suchen, die \( y''''+5y''+4y = \cos(3x) \) löst. Dafür bietet es sich an, eine Funktion der Form \( a\cos(3x) \) zu verwenden. Das kann man nun einsetzen und a bestimmen.

Die allgemeine Lösung erhält man aus der Summe von homogener und partikulärer Lösung.