\( y''''+2(a+1)y''+(a-1)^2 y = 0 \)

Substituiere \( y=e^{\lambda x} \):

\( (\lambda^4+2(a+1)\lambda^2+(a-1)^2)e^{\lambda x} = 0 \)

Durch den Satz des Nullprodukts, reduziert sich das auf das Lösen des Polynoms:

\( \lambda^4+2(a+1)\lambda^2+(a-1)^2=0\)

Durch Substitution von \( z=\lambda^2 \) und Lösen der quadratischen Gleichung erhält man:

\( \lambda_1=-\sqrt{-1 - 2 \sqrt a - a}, \lambda_2=\sqrt{-1 - 2 \sqrt a - a}, \lambda_3=-\sqrt{-1 + 2 \sqrt a - a}, \lambda_4=\sqrt{-1 + 2 \sqrt a - a} \)

Durch die Resubstitution der Lösungen erhält man die Lösung:

\( y(x) = c_1 e^{\sqrt{-(\sqrt a + 1)^2} x} + c_2 e^{-\sqrt{-(\sqrt a  + 1)^2} x} + c_3 e^{\sqrt{-(\sqrt a - 1)^2} x} + c_4 e^{-\sqrt{-(\sqrt a - 1)^2}x} \)