Bei der b)
Um den Definitions- und Wertebereich anzugeben, schaust du dir einfach an, aus welchem Vektorraum dein Vektor stammen könnte. Beim ersten zb: Die Abbildung f schickt einen Vektor mit 3 Einträgen auf einen Vektor mit 2 Einträgen, man könnte also K³ als Definitionsbereich und K² als Wertebereich nehmen. K ist hierbei ein Körper, wie die reellen oder komplexen Zahlen. Für die Linearität musst du dann die Definition anwenden: Eine Abbildung f heißt linear, wenn \( f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y) \) \( \forall x,y\in V, \forall \lambda \in K\) gilt. Setz also mal \( \lambda x+y \) in die Abbildung ein, mit den Vektoren \( x = (x_1, x_2,x_3)\) und \( y=(y_1,y_2,y_3)\), und schau ob dann auch wirklich \( \lambda f(x)+f(y) \) rauskommt.
Zur c)
Lineare Abbildungen haben immer eine Matrix, aber wie die Matrix genau aussieht hängt ganz allein von der Wahl der Basisvektoren ab. Da hier nicht explizit eine Basis angegeben wurde, können wir uns das Leben leicht machen und einfach die kanonische Standardbasis wählen. Die Spaltenvektoren dieser Basis sind einfach die Einheitsvektoren \( e^{(n)}_i\), also die Vektoren der Länge n, die nur eine 1 in i-ter Zeile haben. Für n = 3 wären die Einheitsvektoren halt \( e_1 = (1, 0, 0)^T\),\( e_2 = (0, 1, 0)^T\) und \( e_3 = (0, 0, 1)^T\). Um jetzt eine Abbildungsmatrix zu bestimmen machst du ganz einfach folgendes: Du setzt jeden Einheitsvektor in die lineare Abbildung ein und rechnest halt das Bild von dem Einheitsvektor aus. Das Ergebnis was rauskommt nimmst du als Spaltenvektor deiner Abbildungsmatrix. Wenn man zb \( e_1\) in f einsetzt (vorausgesetzt, f ist linear), dann bekommt man: \( f(e_1) = (1,-3)^T\), also wäre deine erste Spalte in der Abbildungsmatrix halt \( (1,-3)^T\). Das machst du dann für jede lineare Abbildung.
Bei der d)
Du kennst jetzt die Abbildungsmatrizen. Wenn man diese Aufgabe liest, dann scheint es so, als wären f und g beide linear, weil ansonsten hätten sie keine Abbildungsmatrix. Weil f eine Abbildung aus dem K³ in den K² ist, ist die Abbildungsmatrix von f auf jeden Fall nicht quadratisch, die von g aber schon, also kann es sein, dass zb f * g funktioniert, aber g * f nicht, weil damit die Matrixmultiplikation von A * B funktionieren kann, muss A genausoviele Spalten haben wie B Zeilen hat
Student, Punkte: 699
Danke schon mal im voraus! ─ 123xx5 27.01.2020 um 20:19