Gehts einfach nur darum, dass einmal anschaulich zu demonstrieren, oder solls wirklich rechnerisch bewiesen werden? Du weisst ja sicherlich wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist. Jetzt wollen wir mal dem Dreieck "Koordinaten" zuordnen, und zwar auf diese Art und Weise:

(das Bild hab ich von Googel kopiert). Wir bezeichnen mit n die Zeile und mit k die Spalte. Stell dir vor du machst jetzt (n über k) + (n über k+1), das wäre also dann die Summe von einem Eintrag in Zeile n und Spalte k mit dem Eintrag genau rechts davon, wenn wir uns im Bild zb n = 7 und k = 2 aussuchen, dann wäre (n über k) + (n über k+1) = (7 über 2) + (7 über 3), also gerade die beiden Einträge die nebeneinander sitzen. Dieses (n über k) sagt aus, wieviele unterschiedliche Wege es durch das Pascalsche Dreieck von (0 über 0) bis (n über k) gibt. Wenn man jetzt zwei benachbarte Einträge addiert, dann bekommt man als Ergebnis den Eintrag zwischen den beiden Einträgen eine Zeile darunter, also (n+1 über k+1). Da ein Weg von (0 über 0) bis (n+1 über k+1) entweder über (n über k) oder (n über k+1) gehen muss, ist summiert man einfach alle Wege die von (0 über 0) zu (n über k) und von (0 über 0) zu (n über k+1) führen und erhält somit die Anzahl an Wege von (0 über 0) zu (n+1 über k+1)