Aussage b) heißt im Prinzip nur, dass deine Folge \(a_n\) beschränkt ist, heißt ab einem bestimmten Index \(n_0\) entfernt sich die Folge \(a_n\) nicht mehr beliebig weit von \(a\), heißt man kann ein positives \(\varepsilon \in \mathbb R\) finden, sodass der Abstand von \(a_n \) und \(a\) ab einem bestimmten Index \(n_0\) immer kleiner als \(\varepsilon \) ist.
Die Aussage a) Ist wie gesagt die Definition von Konvergenz. Analog zu b), aber es muss nicht nur für \(\textbf{ein}\) \(\varepsilon \) gelten sondern für \(\textbf{alle}\).
Wenn die Aussage für alle \(\varepsilon\) gilt, dann gilt sie natürlich auch für ein bestimmtes \(\varepsilon\), bedeutet \( a) \implies b) \).

Die Aussage (ii) ist die gängige Definition von Stetigkeit in einem Punkt \(x_0\) über das \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium. Bedeutet intuitiv, man kann für jedes beliebige positive \(\varepsilon \in \mathbb R \) ein positives \( \delta \in \mathbb R \) finden, sodass wenn der Abstand der Funktionswerte kleiner als \(\varepsilon \), der Abstand der Argumente kleiner als \( \delta \) ist.
(i) bedeutet, dass ein \(\delta > 0 \) existiert, sodass  für alle \( 0<\varepsilon \in \mathbb R\) gilt, dass für alle \( x \in \mathbb R\)  gilt, dass wenn der Abstand von \(x \) und \(x_0\) kleiner als \(\delta\) ist, dass dann der Abstand der jeweiligen Funktionswerte kleiner als \(\varepsilon \) ist, was nach einigem Überlegen bedeuten müsste, dass f konstant sein muss. (kannst du dir ja auch nochmal überlegen). Und da jede konstante Funktion auch stetig ist, folgt: \( (i) \implies (ii) \)

Wenn noch was unklar sein sollte kannst du dich ja nochmal melden.

Edit: ich habe jetzt mal angenommen, dass bei (i) \(\varepsilon \) größer als Null ist, da das sonst allgemein keinen Sinn ergibt.