Mit einer Abschätzung nach oben:

\( \sum\limits_{n=0}^\infty \sqrt{n}-\sqrt{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n-n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\leq\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\leq -\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=-\infty \)

Das heißt:

\( \sum\limits_{n=0}^\infty \sqrt{n}-\sqrt{n+1} \leq-\infty\)

\( \sum\limits_{n=0}^\infty \sqrt{n}-\sqrt{n+1} =-\infty\)

Viele Grüße

Holly