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Hallo,
Partialbruchzerlegung ist hier wie der Tipp schon sagt das Mittel zum Ziel. Mit der Partialbruchzerlegung, formen wir den Bruch um. Zerlege zuerst den Nenner in Linearfaktoren.
$$ 4k^2 -1 = a(x-b)(x-c) $$
Dann kannst du den Bruch umformen in die Form
$$ \frac 1 {4k^2-1} = \frac A {a(x-b)} + \frac B {x-c} $$
Linearfaktoren kannst du mit Hilfe der Nullstellen bestimmen.
Die Partialbruchzerlegung an sich wird dann mittels Koeffizientenvergleich durchgeführt, indem du die Summe der Brüche wieder auf einen Bruch bringst und die Vorfaktoren der Potenzen von \( x \) vergleichst.
Wenn du dann die Partialbruchzerlegung durchgeführt hast, kannst du die Reihe aufspalten und in die Form der geometrischen Reihe bringen um den Grenzwert zu berechnen.
Versuch dich mal. Wenn Probleme auftauchen melde dich gerne nochmal
Grüße Christian
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Es gilt
$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac 1 {4k^2-1} =\frac 1 2 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left( \frac 1 {2k-1} - \frac 1 {2k+1} \right) = \frac 1 2 ( \frac 1 1 - \frac 1 3 + \frac 1 3 - \frac 1 5 + \frac 1 5 - \frac 1 7 \ldots ) $$
Was passiert hier? ─ christian_strack 03.02.2020 um 09:08
$$ \frac 1 2 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {2k-1} - \frac 1 {2k+1} = \frac 1 2 \left( \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {2k-1} - \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1 {2k+1} \right) $$
Durch Indexverschiebung und herausschreiben von ein paar Summanden kannst du es auch sehen. :) ─ christian_strack 03.02.2020 um 09:11
$$ 4k^2 -1 = (2k+1)(2k - 1 ) $$
alternativ hätten wir auch den Vorkfaktor von der höchsten Potenz ausklammern könnnen und die Nullstellen berechen können.
$$ 4k^2- 1 = 4(k^2- \frac 1 4) = 4(k- \frac 1 2)(k+ \frac 1 2) $$
Das führt uns zur Partialbruchzerlegung. Wir können folgende Umformung machen
$$ \frac 1 {4k^2 -1} = \frac A {2k+1} + \frac B {2k-1} $$
oder
$$ \frac A {4(k- \frac 1 2)} + \frac B {k + \frac 1 2} $$
nehmen wir mal das erste.
WIr wollen nun \( A \) und \( B \) bestimmen. Also bringen wir den rechten Ausdruck nochmal auf einen Bruchstrich
$$ \frac A {2k+1} + \frac B {2k-1} = \frac {A(2k-1)} {(2k+1)(2k-1)} + \frac {B(2k+1)} {(2k-1)(2k+1)} = \frac {A(2k-1)+ B(2k+1)} {4k^2-1} = \frac {(2A+2B)k + (B-A)} {4k^2-1} $$
Bis hier hin klar?
Nun vergleichen wir unsere beiden Ausdrücke
$$ \frac 1 {4k^2-1} = \frac {(2A+2B)k + (B-A)} {4k^2 -1} $$
Wir müssen nur die Zähler vergleichen und kommen auf die Gleichungen
$$ \begin{array}{ccc} 2A+2B & = & 0 \\ B-A &= & 1 \end{array} $$
Ist dieser Schritt klar?
Dieses LGS hat die Lösung
$$ A = - \frac 1 2 \quad B = \frac 1 2 $$
Damit erhalten wir als Lösung der Partialbruchzerlegung
$$ \frac 1 {4k^2-1} = -\frac 1 {2(2k+1)} + \frac 1 {2(2k-1)} $$
Mit der geometrischen Reihe war ich zu voreilig. Wenn du dir das als Reihe aufschreibst, siehst du vielleicht schon den Grenzwert. Ansonsten schreibe dir mal die ersten Glieder der Reihe auf.
Sehr gerne :) ─ christian_strack 02.02.2020 um 21:56