Hilfe: Wert einer Reihe (alte Klausur)

Aufrufe: 604     Aktiv: 02.02.2020 um 22:26
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Hallo,

Ich habe echt Schwierigkeiten, den Wert einer Reihe zu berechnen. Diesmal ist die Aufgabe die folgende:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {2+ (-1)^{n}} {2^{n+1}} \)

Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich zur Lösung komme? Ich habe online gesehen, dass man das auseinander ziehen kann, wodurch sich

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac {2} {2^{n+1}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}} {2^{n+1}} \)

ergeben würde. Bei Index = 1 kann man wohl auch eine andere Form der geometrischen Reihe nutzen, nämlich \( \sum_{k=1}^{\infty} q^{k} = \frac {q} {1-q} \).

Wie komme ich jetzt bei der Reihe bzw. der auseinandergezogenen Reihe zu der Form \( q^{k} \)? Da stehe ich echt auf dem Schlauch und die Klausur ist am Mittwoch...

Danke schon mal vorab für Tipps!

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Durch zweimalige Anwendung der geometrischen Riehe kommt man auf die Lösung:
 \(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n+1}}\\
 =\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n} + \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\\
 =\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n +\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\\
 =\frac{1}{1-\frac{1}{2}} +\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2}\frac{(-1)^n}{2^n}\\
 =2+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}\\
 =2+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^n\\
 =2+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}\\
 =2+\frac{1}{3}\\
 =\frac{7}{3}\\
 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n+1}}=\frac{5}{6}\)

Viele Grüße

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