Durch zweimalige Anwendung der geometrischen Riehe kommt man auf die Lösung:
\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n+1}}\\
=\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n} + \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\\
=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n +\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\\
=\frac{1}{1-\frac{1}{2}} +\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2}\frac{(-1)^n}{2^n}\\
=2+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}\\
=2+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^n\\
=2+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}\\
=2+\frac{1}{3}\\
=\frac{7}{3}\\
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n+1}}=\frac{5}{6}\)
Viele Grüße
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