Hallo,

"\( \Rightarrow \)" bedeutet "daraus folgt". Wir führen die Annahme \( \sqrt{6} \) ist rational zu einem Widerspruch.

Fangen wir an:

\(\sqrt{6}\ \text{ist rational}\Rightarrow\) Es existieren \(a,b\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}\), sodass gilt: \( \sqrt{6}=\frac{a}{b}\) (wobei dieser Bruch vollständig gekürzt sein muss).

mit quadrieren erhält man: \(\Rightarrow 6=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow 6b^2=a^2 \Rightarrow a^2\ \text{gerade}\Rightarrow a\ \text{gerade}\)

wenn a gerade, gibt es ein \( k\in\mathbb{Z}\), sodass: \( a=2k \). Das setzen wir nun ein:

\( 6b^2=a^2\Rightarrow 6b^2=(2k)^2\Rightarrow 3b^2=2k^2\Rightarrow 3b^2\ \text{gerade}\Rightarrow b^2\ \text{gerade}\Rightarrow b\ \text{gerade}\).

Nun haben wir beweisen, falls \(\sqrt{6}\) rational, dann müsste \(\frac{a}{b}\) sowohl komplett gekürzt sein, als auch mit zwei kürzbar sein. Das ist ein Widerspruch, es folgt:

\(\Rightarrow\sqrt{6}\ \text{ist irrational}\)