Unter der Annahme, dass \(\mathbb{R}[t]\) die Menge der Polynome über dem Körper der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) darstellt, und zu zeigen ist, dass die Abbildung \(\varphi\) mit reellen Koeffizienten linear ist, gilt:

Seien \(p,q\in\mathbb{R}[t]\) und \(\alpha\in\mathbb{R}\).

\(\varphi(p+q) = (p+q) + (p+q)' = p+q+p'+q' = p+p'+q+q' = \varphi(p) + \varphi(q)\)

\(\varphi\) ist folglich additiv.

\(\varphi(\alpha p) = \alpha p + (\alpha p)' = \alpha p + \alpha p' = \alpha(p+p') = \alpha\varphi(p)\)

\(\varphi\) ist folglich homogen. Dmait ist die Abbildung linear.