Gaußsche Zahlenebene und komplexe Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 713     Aktiv: 17.02.2020 um 16:46
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Hallo, 

Ich schreibe meine Facharbeit über komplexe Zahlen und mehrere vorgegbenen Aufgaben. Viele Aufgaben sind kein Problem, doch hier stocke ich ein wenig. 

Aufgabe 1: Darstellung von Bereichen der Gaußschen Zahlenebene am vorgegebenen Beispielen.

A = { z ist Element von einer komlexen Zahl: Im(z) kleiner/gleich 0,5 Re(z)    und    Re(z) kleiner/gleich 4    und     Im(z) größer gleich 2 i }

B = { z ist Element von einer komlexen Zahl: z mal z konjugiert -4 Re(z) kleiner/gleich 1 + 4 i     und      Re(z) kleiner Im(z) }

C = { z ist Element von einer komlexen Zahl: Betrag von z zum quadrat kleiner/gleich 9   und    Betrag von z zum quadrat -8 Re(z) + 12 kleiner/gleich 0 } 

 

Aufgabe 2: Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 4 und deren Produkt 5 beträgt. 

 

Es wäre super nett, wenn ihr mir bei diesen Aufgaben helfen könntet!

 

Gruß

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Schüler, Punkte: 10

 
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Um es anschaulicher zu lösen verwende ich eine Ansatz ohne Formel, die qaudratische Ergänzung:

\(x(4-x) = 5\)

\(\Leftrightarrow -x^2+4x = 5\)

 \(\Leftrightarrow x^2-4x+4 = -1\)

 \(\Leftrightarrow (x-2)^2 = -1\)

 \(\Leftrightarrow (x-2) = \pm\mathrm{i}\)

Wir haben also zwei mögliche Wert für \(x\): \(x=2+\mathrm{i} \vee x=2-\mathrm{i}\)

Die setzen wir nacheinander in eine der beiden Gleichunge ein. Ich nehme \(x+y=4\)

Für \(x=2+\mathrm{i}\) erhalten wir \(2+\mathrm{i} + y = 4 \Leftrightarrow y= 2 - \mathrm{i}\),

und für \(x=2-\mathrm{i}\) erhalten wir \(2-\mathrm{i} + y = 4 \Leftrightarrow y= 2 + \mathrm{i}\).

Damit erfüllen die Elemente der Menge \(\{(2+\mathrm{i}\mid 2 - \mathrm{i}),(2-\mathrm{i}\mid 2 + \mathrm{i})\}\) die beiden Gleichungen.

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Student, Punkte: 350

 
super! Ich danke dir.
Ich habe gedacht, dass kann so nicht sein, habe aber es gelöst mit der pq-Formel und habe das gleich raus.
Danke dir!

Zu Aufgabe 1) B und C hast du zufällig keine Lösung?
Da verzweifel ich echt ein bisschen.

Ich stelle mir das ganze in der Gaußschen Zahlenebene dar.

Ansatz zu B = { z ist Element von einer komlexen Zahl: z mal z konjugiert -4 Re(z) kleiner/gleich 1 + 4 i und Re(z) kleiner Im(z) }
z mal z konjugiert ist ja a hoch 2 + b hoch 2

Ansatz zu C = { z ist Element von einer komlexen Zahl: Betrag von z zum quadrat kleiner/gleich 9 und Betrag von z zum quadrat -8 Re(z) + 12 kleiner/gleich 0 }
Betrag z hoch 2 = 9 ist ja Betrag von z = 3

Wäre nett, wenn du da auch noch ein paar Tipps hast.   ─   nifi 09.02.2020 um 20:36
Ist \(B=\{z\in\mathbb{C}:z\overline{z}-4\mathrm{Re}(z) \leq1+4\mathrm{i}\wedge\mathrm{Re}(z) < \mathrm{Im}(z)\}\)?
   ─   bonuama 10.02.2020 um 10:29
Ja, mit \(z\in\mathbb{C}\) und \(a,b\in\mathbb{R}\) mit \(z=a+b\mathrm{i}\) gilt \(z\overline{z} = a^2+b^2\).   ─   bonuama 10.02.2020 um 10:32
Ehrlich gesagt verwirrt mich das \(\leq 1+4\mathrm{i}\), da die komplexen Zahlen nicht anordenbar sind.   ─   bonuama 10.02.2020 um 10:37
Für C: \(|z|^2 = a^2+b^2 \leq 9\)
also \(b\leq\sqrt{9-a^2}\).
Nimm a als Rechtswertachse und b als Hochwertachse und zeichne das mal ein. Tip: Schau Dir mal die Gleichung eines Kreises an.   ─   bonuama 10.02.2020 um 10:48
Ja, so ist B.

Wie gehe ich denn dann bei B weiter vor?
Ich weiß ja eigentlich nur, dass z mal z konjugiert a hoch 2 + b hoch 2 ist.
Wie muss ich das dann zeichnen?

Zu C werde ich mal probieren.   ─   nifi 11.02.2020 um 14:01

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Zu 1) Stell dir die Gaußsche Zahleneben als Koordinatensystem vor, bei dem Re die x-Achse und Im die y-Achse ist.

Zu 2) Seien x und y zwei Zahlen mit den Eigenschaften:

\(x+y = 4\) und \(xy = 5\).

Dann gilt \(y = 4 - x\) und somit (Korrigiert) \(x(x-4) = 5\) \(x(4-x) = 5\). Diese Gleichung lösen wir.

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Student, Punkte: 350

 
Zu 1) Den Ansatz hatte ich bereits auch, dass ich mir das ganze als Gaußsche Zahlenebene darstelle. Doch ich wollte wissen, wie ich die Argumente/Aufgaben darin einzeichnen muss, um eine saubere Lösung zu erhalten?!

Bei der A bin ich 4 Einheiten auf Re nach rechts gegangen und 2 Einheiten Im nach oben und habe dann den Punkt z = 4 + 2 i
Ist das so richtig?

Zu 2) Habe ich jetzt gelöst. Allerdings kommt bei mir, wenn ich x(x-4) = 5 auflöse 5 und -1 mit Hilfe der pq-Formel raus. Wenn ich die beiden Lösungen dann in xy = 5 einsetze aber -5 raus?!

   ─   nifi 07.02.2020 um 19:13
Übertragungsfehlerfehler korrigiert.   ─   bonuama 07.02.2020 um 21:04
Ok.

Kannst du mir die 2) vielleicht einmal Lösen? Hänge jetzt an dem Punkt, dass ich ja so zu sagen eine Komplexe Zahl erhalten habe, ich weiß jedoch jetzt nicht weiter, ich dann x und y erhalte.

Hast du vielleicht noch einen Tipp zu 1) wie ich die Aufgaben/Argumente dann in der Gaußschen Zahlenebene darstellen muss??   ─   nifi 08.02.2020 um 18:44

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